Ωραίο Θεματάκι

tsolis · #1

Έστω $z=lnx-2i\sqrt{x}, x>0$ .Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $\mid z-2\mid$ .

margavare · #2

$\displaystyle{ \left| {z - 2} \right| = \left| {\ln x - 2 - 2i\sqrt x } \right| = \sqrt {\left( {\ln x - 2} \right)^2 + \left( { - 2\sqrt x } \right)^2 } = \sqrt {\left( {\ln x - 2} \right)^2 + 4x} }$

$\displaystyle{ \begin{array}{l} f(x) = \left( {\ln x - 2} \right)^2 + 4x \\ f'(x) = 2\left( {\ln x - 2} \right)\frac{1}{x} + 4 = \frac{2}{x}\left( {\ln x - 2 + 2x} \right) \\ \end{array} }$

$f'\left( 1 \right) = 0$

Για x>1 έχουμε f'(x)>0

Για x<1 έχουμε f'(x)<0

Άρα για x=1 έχουμε ελάχιστο για την f.

$\displaystyle{ \left| {z - 2} \right| = \left| {\ln x - 2 - 2i\sqrt x } \right| = \sqrt {\left( {\ln 1 - 2} \right)^2 + 4} = \sqrt 8 }$

Ωραίο Θεματάκι

Ωραίο Θεματάκι

Re: Ωραίο Θεματάκι

Μέλη σε σύνδεση