ΟΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΥΡΤΗΣ-ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

#1

Καλησπέρα

'Όπως πάντα ενδιαφέροντα βγαίνουν μέσα από τις απορίες των μαθητών μας....

έτσι ενώ δείξαμε μέσα στην τάξη ότι το όριο της παραγώγου μιας κυρτής συνάρτησης με ασύμπτωτη στο $y=\lambda x+\kappa$

είναι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=\lambda$ η απορία μιας μαθήτριας ήταν κατα κάποιο τρόπο το αντίστροφο

Δίνεται συνάρτηση $f:R\to R$ που είναι κυρτή στο

με $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=\lambda \in R$

Με αυτά τα δεδομένα μπορούμε να δείξουμε ότι η

έχει ασύμπτωτη στο $+\infty$ με συντελεστή διεύθυνσης $\lambda$

ή ότι δεν γίνεται να έχει ασύμπτωτη...δεν έχω δώσει ακόμη απάντηση...

#2

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 09, 2022 1:25 am

Δίνεται συνάρτηση $f:R\to R$ που είναι κυρτή στο με $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=\lambda \in R$

Με αυτά τα δεδομένα μπορούμε να δείξουμε ότι η έχει ασύμπτωτη στο $+\infty$ με συντελεστή διεύθυνσης $\lambda$

ή ότι δεν γίνεται να έχει ασύμπτωτη...δεν έχω δώσει ακόμη απάντηση...

Βασίλη, δεν βλέπω να ισχύει αλλά επειδή είναι περασμένες 2 μετά τα μεσάνυκτα μπορεί να κάνω λάθος...

Η $f(x) = x-\ln x$ στο $[1,\, + \infty)$ είναι κυρτή αφού αφού $f''(x) = \dfrac {1}{x^2} >0$ . Eδώ

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right) = \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left ( 1 - \dfrac {1}{x} \right)=1$

Όμως για οποιοδήποτε

, το όριο

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(f(x) -(1x+k)) = \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\, (-\ln x-k) = -\infty$

δεν είναι

.

giannispapav · #3

Ίσως δεν έχω αντιληφθεί σωστά αυτή τη φράση :

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 09, 2022 1:25 am
Με αυτά τα δεδομένα μπορούμε να δείξουμε ότι η έχει ασύμπτωτη στο $+\infty$ με συντελεστή διεύθυνσης $\lambda$

ή ότι δεν γίνεται να έχει ασύμπτωτη...δεν έχω δώσει ακόμη απάντηση...

Ο κ. Λάμπρου έδωσε ένα παράδειγμα κυρτής συνάρτησης η οποία να μην έχει ασύμπτωτη στο $+\infty$ (προφανώς υπάρχουν και κυρτές συναρτήσεις οι οποίες να έχουν ασύμπτωτη στο $+\infty$ ).
Από την άλλη, δεδομένου ότι ισχύει $\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=\lambda\in\mathbb{R}$ και δεδομένου ότι η C_f

έχει ασύμπτωτη στο $+\infty$ , τότε μπορούμε να δείξουμε ότι η κλίση της ασύμπτωτης είναι $\lambda$ (ακόμα και αν η

δεν είναι κυρτή)

abgd · #4

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 09, 2022 1:25 am
Καλησπέρα

'Όπως πάντα ενδιαφέροντα βγαίνουν μέσα από τις απορίες των μαθητών μας....

έτσι ενώ δείξαμε μέσα στην τάξη ότι το όριο της παραγώγου μιας κυρτής συνάρτησης με ασύμπτωτη στο $y=\lambda x+\kappa$

είναι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=\lambda$ η απορία μιας μαθήτριας ήταν κατα κάποιο τρόπο το αντίστροφο

Δίνεται συνάρτηση $f:R\to R$ που είναι κυρτή στο με $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=\lambda \in R$

Με αυτά τα δεδομένα μπορούμε να δείξουμε ότι η έχει ασύμπτωτη στο $+\infty$ με συντελεστή διεύθυνσης $\lambda$

ή ότι δεν γίνεται να έχει ασύμπτωτη...δεν έχω δώσει ακόμη απάντηση...

Βασίλη, κάποιο λάθος έχετε κάνει σ' αυτό:

"....δείξαμε μέσα στην τάξη ότι το όριο της παραγώγου μιας κυρτής συνάρτησης με ασύμπτωτη στο $y=\lambda x+\kappa$ είναι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=\lambda$ ..."

Προφανώς χρησιμοποιήσατε τον κανόνα De 'l Hospital, αλλά παραλείψατε την προϋπόθεση ύπαρξης του ορίου της παραγώγου.

Ένα αντιπαράδειγμα: $f(x)=\frac{sinx^2}{x}-x$ . Η συγκεκριμένη συνάρτηση έχει ασύμπτωτη την y=x

όμως το όριο της παραγώγου στο άπειρο δεν υπάρχει.

Edit: τώρα που το ξαναβλέπω, για το αντιπαράδειγμα δεν πρόσεξα το "κυρτή συνάρτηση"!

#5

Συμφωνώ με τον giannispapav και αυτό το δείξαμε μέσα στην τάξη...
η απάντηση του Μιχάλη όπως πάντα, δίνει την απάντηση στο αρχικό μου ερώτημα
ευχαριστώ σας

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#6

Συνάδελφε abgd
όλα είναι οκ με την απόδειξη που κάναμε στην τάξη
και η ύπαρξη του ορίου της παραγώγου βγαίνει με με το κριτήριο παρεμβολής
μετα απότην διπλή ανισότητα που προκύπτει για την

από ΘΜΤ
στα διαστήματα [χ-1, χ], [χ,χ+1] και στο παράδειγμα που δίνεται η συνάρτηση αυτή δεν είναι κυρτή....
ευχαριστώ

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

abgd · #7

Έχεις δίκιο!

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 09, 2022 12:26 pm
Συνάδελφε abgd
όλα είναι οκ με την απόδειξη που κάναμε στην τάξη
και η ύπαρξη του ορίου της παραγώγου βγαίνει με με το κριτήριο παρεμβολής
μετα απότην διπλή ανισότητα που προκύπτει για την από ΘΜΤ
στα διαστήματα [χ-1, χ], [χ,χ+1] και στο παράδειγμα που δίνεται η συνάρτηση αυτή δεν είναι κυρτή....
ευχαριστώ

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Έχεις δίκιο!
To ΘΜΤ μπορούμε να το κάνουμε και στα διαστήματα [0,χ] και [χ,2χ].

#8

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 09, 2022 12:26 pm
Συνάδελφε abgd
όλα είναι οκ με την απόδειξη που κάναμε στην τάξη
και η ύπαρξη του ορίου της παραγώγου βγαίνει με με το κριτήριο παρεμβολής
μετα απότην διπλή ανισότητα που προκύπτει για την από ΘΜΤ
στα διαστήματα [χ-1, χ], [χ,χ+1] και στο παράδειγμα που δίνεται η συνάρτηση αυτή δεν είναι κυρτή....
ευχαριστώ

Νομίζω ότι για να είναι πλήρης η απόδειξη, πρέπει πρώτα να αποδείξουμε την ύπαρξη του ορίου της

στο $+\infty$ . Γίνεται αυτό με σχολικά μέσα;

#9

Καλημέρα silouan
Γίνεται με σχολικά μέσα αφου από την ασύμπτωτη
έχουμε το όριο της f στο +00 και με το Θ.Μ.Τ.
προκύπτει από το Κ.Π. και το όριο της f'

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#10

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 12, 2022 11:19 am
Καλημέρα silouan
Γίνεται με σχολικά μέσα αφου από την ασύμπτωτη
έχουμε το όριο της f στο +00 και με το Θ.Μ.Τ.
προκύπτει από το Κ.Π. και το όριο της f'

Αυτά είναι γραμμένα και παραπάνω. Αυτό που ήθελα να εκμαιεύσω, που δεν είναι γραμμένο παραπάνω (δεν ξέρω αν έχει γραφεί) είναι ότι η

είναι αύξουσα.
Γιατί γράφουμε για παράδειγμα, ότι υπάρχει $\xi_1\in (x-1, x)$ ώστε $f'(x)>f'(\xi_1)=f(x)-f(x-1)$ και $\xi_2\in (x, x+1)$ ώστε
$f'(x)<f'(\xi_2)=f(x+1)-f(x)$ . Δηλαδή, η μονοτονία της

είναι αυτή που εξασφαλίζει την ύπαρξη, στην ουσία.

ΟΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΥΡΤΗΣ-ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

ΟΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΥΡΤΗΣ-ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

Re: ΟΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΥΡΤΗΣ-ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

Re: ΟΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΥΡΤΗΣ-ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

Re: ΟΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΥΡΤΗΣ-ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

Re: ΟΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΥΡΤΗΣ-ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

Re: ΟΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΥΡΤΗΣ-ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

Re: ΟΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΥΡΤΗΣ-ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

Re: ΟΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΥΡΤΗΣ-ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

Re: ΟΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΥΡΤΗΣ-ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

Re: ΟΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΥΡΤΗΣ-ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

Μέλη σε σύνδεση