Κλασική μελέτη

KARKAR · #1

$\bigstar$ Μελετήστε την συνάρτηση : $f(x)=e^{x+1}-(x+1)^e-1$ , ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα .

nickolas tsik · #2

Καλησπέρα,

Για να βρούμε τα μέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης $f(x) = e^{x+1} - (x+1)^e - 1$ , πρέπει πρώτα να βρούμε τα σημεία όπου η πρώτη παράγωγός μηδενίζεται.

$\displaystyle f'(x) = \frac{d}{dx} (e^{x+1}) - \frac{d}{dx} ((x+1)^e) - \frac{d}{dx} (1)$

$\displaystyle = e^{x+1} \cdot \frac{d}{dx} (x+1) = e^{x+1}$

$\displaystyle = e \cdot (x+1)^{e-1} \cdot \frac{d}{dx} (x+1) = e(x+1)^{e-1}$

$\displaystyle \frac{d}{dx} (1) = 0$

$\displaystyle f'(x) = e^{x+1} - e(x+1)^{e-1}$

$\displaystyle e^{x+1} - e(x+1)^{e-1} = 0$

$\displaystyle e^{x+1}(1 - (x+1)^{e-1}) = 0$

1. $e^{x+1} = 0$ (που δεν είναι δυνατό)
2. $1 - (x+1)^{e-1} = 0$

Τώρα, λύνουμε για

στη δεύτερη εξίσωση:

$\displaystyle 1 - (x+1)^{e-1} = 0$

$\displaystyle (x+1)^{e-1} = 1$

$\displaystyle x+1 = 1^{\frac{1}{e-1}}$

$\displaystyle x+1 = 1$

$\displaystyle x = 0$

Άρα, το μοναδικό σημείο κρίσης είναι x = 0

.

Η δεύτερη παράγωγος της f(x)

είναι:

$\displaystyle f''(x) = e^{x+1} - e(e-1)(x+1)^{e-2}$

Αξιολογούμε f''(0)

για να καθορίσουμε την κυρτότητα:

$\displaystyle f''(0) = e^{0+1} - e(e-1)(0+1)^{e-2}$
$\displaystyle = e - e(e-1) = e - (e^2 - e) = 2e - e^2$

f''(0)< 0

, άρα

αντιστοιχεί σε τοπικό ΜΕΓΙΣΤΟ

Επομένως, f(0)

δίνει την μέγιστη τιμή της συνάρτησης. Ας την υπολογίσουμε:

$\displaystyle f(0) = e^{0+1} - (0+1)^e - 1 = e^1 - 1^e - 1 = e - 1 - 1 = e - 2$

η f είναι γνησίως αύξουσα στο [e-1,\infty) επειδή $\displaystyle
f'(x) = e^{x+1} - e(x+1)^{e-1} =0 οταν χ=0,χ=e-1

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 12, 2024 12:51 pm
$\bigstar$ Μελετήστε την συνάρτηση : $f(x)=e^{x+1}-(x+1)^e-1$ , ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα .

H συνάρτηση $\displaystyle f(x)={{e}^{x+1}}-{{(x+1)}^{e}}-1$ ορίζεται στο $\displaystyle [-1,+\infty )$ και είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle [-1,+\infty )$ με $\displaystyle {f}'(x)={{e}^{x+1}}-e{{(x+1)}^{e-1}}$
$\displaystyle {f}'(x)\ge 0\Leftrightarrow {{e}^{x+1}}-e{{(x+1)}^{e-1}}\ge 0\Leftrightarrow {{e}^{x+1}}\ge e{{(x+1)}^{e-1}}\Leftrightarrow {{e}^{x}}\ge {{(x+1)}^{e-1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Για $\displaystyle x=0$ ή $\displaystyle x=e-1$ η (1) ισχύει ως ισότητα
Για $\displaystyle x>0$ η $\displaystyle (1)\Leftrightarrow x\ge (e-1)\ln (x+1)\Leftrightarrow \frac{\ln (x+1)}{x}\le \frac{1}{e-1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
Έστω $\displaystyle g(x)=\frac{\ln (x+1)}{x}$ με $\displaystyle x>0$ .
Τότε $\displaystyle {g}'(x)=\frac{x-(x+1)\ln (x+1)}{{{x}^{2}}(x+1)}$
Έστω $\displaystyle t(x)=x-(x+1)\ln (x+1)$ , $\displaystyle x\ge 0$ .
Τότε : $\displaystyle {t}'(x)=1-1-\ln (x+1)=-\ln (x+1)\le 0$ για $\displaystyle x\ge 0$
Άρα η $\displaystyle t$ είναι γνησίως φθίνουσα οπότε για $\displaystyle x>0$ είναι $\displaystyle t(x)<t(0)\Leftrightarrow t(x)<0\Rightarrow {g}'(x)<0$
Άρα η $\displaystyle g$ είναι γνησίως φθίνουσα οπότε για $\displaystyle x>e-1$ είναι $\displaystyle g(x)<g(e-1)\Leftrightarrow \frac{\ln (x+1)}{x}<\frac{1}{e-1}\,$ .
Επομένως $\displaystyle {f}'(x)>0$ στο $\displaystyle [e-1,+\infty )$ και $\displaystyle {f}'(x)<0$ στο $\displaystyle (0,e-1]$
Για $\displaystyle -1<x<0$ η $\displaystyle (1)\Leftrightarrow x\ge (e-1)\ln (x+1)\Leftrightarrow \frac{\ln (x+1)}{x}\ge \frac{1}{e-1}\,\,$ , οπότε ομοίως καταλήγουμε ότι $\displaystyle {g}'(x)>0$
και τελικά η $\displaystyle {f}'(x)>0$ στο $\displaystyle [-1,0)$
Από τον πίνακα μονοτονίας βλέπουμε ότι η $\displaystyle f$ είναι γνησίως αύξουσα στα $\displaystyle [-1,0]\,\,,\,\,[e-1,+\infty )$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle [0,e-1]$
Για $\displaystyle x=0$ έχει τοπικό μέγιστο το $\displaystyle e-2$ και για $\displaystyle x=e-1$ έχει τοπικό ελάχιστο το $\displaystyle -1$
$\displaystyle \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({e^{x + 1}} - {(x + 1)^e} - 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [{e^{x + 1}}(1 - \frac{{{{(x + 1)}^e}}}{{{e^{x + 1}}}} - \frac{1}{{{e^{x + 1}}}})] = \\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{e^{x + 1}}\left( {1 - {{\left( {\frac{{x + {1^{}}}}{{{e^{\frac{{x + 1}}{e}}}}}} \right)}^e} - \frac{1}{{{e^{x + 1}}}}} \right)} \right] = + \infty \end{array}$
αφού $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{x+1}{{{e}^{\frac{x+1}{e}}}} \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{e}^{\frac{x+1}{e}}}\frac{1}{e}} \right)=0$

Κλασική μελέτη

Κλασική μελέτη

Re: Κλασική μελέτη

Re: Κλασική μελέτη

Μέλη σε σύνδεση