Δεν μικραίνει άλλο

KARKAR · #1

: Δεν μικραίνει άλλο.png (16.29 KiB) Προβλήθηκε 966 φορές

$\bigstar$ Σημείο

κινείται στο εσωτερικό του δεξιού κλάδου της παραβολής : y=x^2

. Η κάθετη της

στο

, ξανατέμνει την καμπύλη στο σημείο

. Ενδιαφερόμαστε για το : E=(OAB)

.

α) Δοκιμάστε να λύσετε την εξίσωση : $E=\dfrac{45}{4}$ ... β) Δείξτε ότι το

παίρνει ελάχιστη τιμή .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 29, 2024 12:58 pm
Δεν μικραίνει άλλο.png $\bigstar$ Σημείο κινείται στο εσωτερικό του δεξιού κλάδου της παραβολής : . Η κάθετη της

στο , ξανατέμνει την καμπύλη στο σημείο . Ενδιαφερόμαστε για το : .

α) Δοκιμάστε να λύσετε την εξίσωση : $E=\dfrac{45}{4}$ ... β) Δείξτε ότι το παίρνει ελάχιστη τιμή .

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} AB:y - {a^2} = - \frac{1}{a}(x - a),a > 0 \hfill \\ C:y = {x^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow B\left( { - \frac{{1 + {a^2}}}{a},\frac{{{{(1 + {a^2})}^2}}}{{{a^2}}}} \right)$

: Δεν μικραίνει άλλο.png (12.47 KiB) Προβλήθηκε 845 φορές

$\displaystyle (OAB) = E(a) = \frac{1}{2}|\det (\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} )| = \frac{1}{{2a}}\left( {2{a^4} + 3{a^2} + 1} \right),a > 0$

α) $\displaystyle E(a) = \frac{{45}}{4} \Leftrightarrow 4{a^4} + 6{a^2} - 45a + 2 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{Horner} (a - 2)(4{a^3} + 8{a^2} + 22a - 1) = 0,$

απ' όπου $\boxed{a=2}$ και υπάρχει άλλη μία λύση, η οποία δεν μπορεί να υπολογισθεί με σχολική ύλη. Μπορούμε όμως με $\rm Bolzano$ να την περιορίσουμε στο διάστημα $\displaystyle \left( {\frac{1}{{30}},\frac{1}{{20}}} \right).$

β) $\displaystyle E'(a) = \frac{{6{a^4} + 3{a^2} - 1}}{{2{a^2}}},$ απ' όπου προκύπτει ότι το εμβαδόν παίρνει ελάχιστη τιμή όταν $\boxed{a = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{\sqrt {33} - 3}}{3}} }$

Δεν μικραίνει άλλο

Δεν μικραίνει άλλο

Re: Δεν μικραίνει άλλο

Μέλη σε σύνδεση