Παράγωγος απόλυτης τιμής

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:
$\bullet$ f(x_o)=0

$\bullet$ η

είναι παραγωγίσιμη στο x_o

#1. Να αποδειχθεί ότι:
|f|

παραγωγίσιμη στο x_o

αν και μόνο αν $f^\prime(x_o)=0$

#2. Να ερμηνευθεί το #1. γεωμετρικά.

Εμπνευσμένο και σχετικό με αυτό https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 61&t=75971

giannispapav · #2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 07, 2024 4:58 pm
Δίνεται συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:
$\bullet$
$\bullet$ η είναι παραγωγίσιμη στο

#1. Να αποδειχθεί ότι:
παραγωγίσιμη στο αν και μόνο αν $f^\prime(x_o)=0$

#2. Να ερμηνευθεί το #1. γεωμετρικά.

Εμπνευσμένο και σχετικό με αυτό https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 61&t=75971

1. Αν

και

, τότε η

είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x_0

.
2. Αν

και $f'(x_0)\not=0$ , τότε η |f|

δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x_0

.

*Απόδειξη*

1. Θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|f(x)|-|f(x_0)|}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|f(x)|}{x-x_0}$
Ξέρουμε ότι
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=0.$
Έστω $g(x)=\dfrac{f(x)}{x-x_0}$ ,

κοντά στο

με $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0$ και f(x)=g(x)(x-x_0)

κοντά στο

. Έτσι,
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|f(x)|}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|g(x)|\cdot |x-x_0|}{x-x_0}$
Παίρνουμε πλευρικά όρια
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0^+}\dfrac{|g(x)|\cdot |x-x_0|}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0^+}|g(x)|\cdot\dfrac{x-x_0}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0^+}|g(x)|=0$
και
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0^-}\dfrac{|g(x)|\cdot |x-x_0|}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0^-}|g(x)|\cdot\dfrac{-(x-x_0)}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0^-}-|g(x)|=0$
Συνεπώς $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|f(x)|}{x-x_0}=0$ δηλαδή η |f|

είναι παραγωγίσιμη στο x_0

.

2. Θέλουμε να δείξουμε ότι δεν υπάρχει το όριο
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|f(x)|-|f(x_0)|}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|f(x)|}{x-x_0}$
Γνωρίζουμε ότι
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=\ell\not=0.$
Έστω $g(x)=\dfrac{f(x)}{x-x_0},$

κοντά στο

με $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\ell\not=0$ και f(x)=g(x)(x-x_0)

κοντά στο

. Έτσι,
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|f(x)|}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|g(x)|\cdot |x-x_0|}{x-x_0}$
Παίρνουμε πλευρικά όρια
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0^+}\dfrac{|g(x)|\cdot |x-x_0|}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0^+}|g(x)|\cdot\dfrac{x-x_0}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0^+}|g(x)|=|\ell|$
και
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0^-}\dfrac{|g(x)|\cdot |x-x_0|}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0^-}|g(x)|\cdot\dfrac{-(x-x_0)}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0^-}-|g(x)|=-|\ell|$
Όμως $|\ell|\not=-|\ell|$ αφού $\ell\not=0$ , άρα δεν υπάρχει το όριο $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|f(x)|}{x-x_0}$ δηλαδή η |f|

δεν είναι παραγωγίσιμη στο x_0

.

hazmatanything · #3

giannispapav έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 07, 2024 7:51 pm

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 07, 2024 4:58 pm
Δίνεται συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:
$\bullet$
$\bullet$ η είναι παραγωγίσιμη στο

#1. Να αποδειχθεί ότι:
παραγωγίσιμη στο αν και μόνο αν $f^\prime(x_o)=0$

#2. Να ερμηνευθεί το #1. γεωμετρικά.

Εμπνευσμένο και σχετικό με αυτό https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 61&t=75971

1. Αν και , τότε η είναι παραγωγίσιμη στο σημείο .
2. Αν και $f'(x_0)\not=0$ , τότε η δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο .

*Απόδειξη*

1. Θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|f(x)|-|f(x_0)|}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|f(x)|}{x-x_0}$
Ξέρουμε ότι
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=0.$
Έστω $g(x)=\dfrac{f(x)}{x-x_0}$ , κοντά στο με $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0$ και κοντά στο . Έτσι,
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|f(x)|}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|g(x)|\cdot |x-x_0|}{x-x_0}$
Παίρνουμε πλευρικά όρια
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0^+}\dfrac{|g(x)|\cdot |x-x_0|}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0^+}|g(x)|\cdot\dfrac{x-x_0}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0^+}|g(x)|=0$
και
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0^-}\dfrac{|g(x)|\cdot |x-x_0|}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0^-}|g(x)|\cdot\dfrac{-(x-x_0)}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0^-}-|g(x)|=0$
Συνεπώς $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|f(x)|}{x-x_0}=0$ δηλαδή η είναι παραγωγίσιμη στο .

2. Θέλουμε να δείξουμε ότι δεν υπάρχει το όριο
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|f(x)|-|f(x_0)|}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|f(x)|}{x-x_0}$
Γνωρίζουμε ότι
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=\ell\not=0.$
Έστω $g(x)=\dfrac{f(x)}{x-x_0},$ κοντά στο με $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\ell\not=0$ και κοντά στο . Έτσι,
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|f(x)|}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|g(x)|\cdot |x-x_0|}{x-x_0}$
Παίρνουμε πλευρικά όρια
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0^+}\dfrac{|g(x)|\cdot |x-x_0|}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0^+}|g(x)|\cdot\dfrac{x-x_0}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0^+}|g(x)|=|\ell|$
και
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0^-}\dfrac{|g(x)|\cdot |x-x_0|}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0^-}|g(x)|\cdot\dfrac{-(x-x_0)}{x-x_0}= \lim\limits_{x\to x_0^-}-|g(x)|=-|\ell|$
Όμως $|\ell|\not=-|\ell|$ αφού $\ell\not=0$ , άρα δεν υπάρχει το όριο $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{|f(x)|}{x-x_0}$ δηλαδή η δεν είναι παραγωγίσιμη στο .

Παράγωγος απόλυτης τιμής

Παράγωγος απόλυτης τιμής

Re: Παράγωγος απόλυτης τιμής

Re: Παράγωγος απόλυτης τιμής

Μέλη σε σύνδεση