Να βρεθεί ο τύπος της f

[chris_gatos]

Έστω f: [α,β] -> R, δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με f(α)=f(β)=0 και f''(x)+f'(x)=f(x) για κάθε χ στο R.Να βρείτε τον τύπο της f .

[xr.tsif]

πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με e^x και διαιρούμε με το (e^x)^2 κλπ... κλπ

[chris_gatos]

Οχι,οχι Χρήστο σα να μου φαίνεται πως πέρασες το άθροισμα για διαφορά...

[cretanman]

Έχουμε να λύσουμε την ομογενή διαφορική εξίσωση .

Λύνουμε την αντίστοιχη χαρακτηριστική εξίσωση με λύσεις τις

συνεπώς οι λύσεις της αρχικής είναι οι

.

Με τις αντίστοιχες αρχικές συνθήκες βρίσκουμε και τις σταθερές .

Αλέξανδρος

[xr.tsif]

Χρήστο δίκιο έχεις (γεράματα βλέπεις)

[chris_gatos]

Η ασκηση λέει : να αποδείξετε οτι η f είναι σταθερά μηδέν στο [α,β]. Εγώ την έκανα πιο δύσκολη. Αλέξανδρε
με μια γρήγορη επίλυση του συστήματος των δύο συνθηκών βγάζω όντως μηδέν.

[cretanman]

Ακριβώς Χρήστο! Πράγματι βγαίνει ταυτοτηκά μηδέν αφού c_1=c_2=0. Απλά καλό θα είναι να έχουμε και την γενικότερη λύση η οποία είναι ανεξάρτητη από τις αρχικές συνθήκες. Έχεις (ή κάποιος άλλος) κάποια λυκειακή λύση στο μυαλό σου με κάποιο κατασκευαστικό (ίσως) τρόπο?

Αλέξανδρος

[kostas136]

Καλημέρα σε όλους. Και εμένα θα ενδιέφερε πολύ να δώ κάποια λυκειακή λύση. Αν κάποιος έχει βρεί μια τέτοια λύση, ας την ποστάρει σας παρακαλώ.

[chris_gatos]

Επειδή η λυκειακή λύση υπάρχει στη σελίδα 296 του βιβλίου ''επαναληπτικά θέματα στα μαθηματικά Γ'Λυκείου''
του Μιχάλη Λάμπρου(αλλά και Δαμβακάκη-Κτιστάκη-Σπανουδάκη), θα ήταν ιερόσυλο να την αντιγράψω...
Για να δώσω κάποια βοήθεια σ'όσους δεν έχουν το βιβλίο. η απόδειξή γίνεται με τη χρήση του Θ. Μέγιστης-ελάχιστης τιμής ,του Θ.Fermat και του κριτηρίου της 2ης παραγώγου...Οι ασκήσεις που βρίσκονται προς το τέλος του βιβλίου,πραγματικά ''ξυρίζουν'' και είναι διδακτικότατες στο maximum.

[mathada]

Απο την αρχη σκεφτηκα μηπως δουλευει να δ.ο m=M =0 οπου m το ελαχιστο και Μ το μέγιστο της f στο [α,β].Μου
το χάλαγε όμως η f΄΄(Χ).Νομίζω με το κριτήριο της f''(x) και με την εις ατοπον καθαρίζεις.Αν δεν κανω λάθος
τα ακρότατα είναι τα f(α),f(β).

[R BORIS]

Επειδή δεν εχω το βιβλίο θα τολμήσω να δώσω μια λύση
Αφού φ συνεχής σε κλειστό θα έχει και μέγιστο Μ και ελάχιστο μ
αφού φ(α)=φ(β)=0 ένα τουλάχιστον από τα Μ,μ θα βρίσκεται στο (α,β) αν φ όχι σταθερή
Αν είναι το Μ πρέπει Μ>0 (λόγω του ότι Μ>φ(α)=0)
Αν είναι το μ πρἐπει μ<0 (λόγω του ότι μ<φ(α)=0)
Από Fermat έχουμε φ''(ξ)=Μ>0 άτοπο γιατί θα έπρεπε φ''(ξ)<0 (μέγιστο)
ή αντίστοιχα άτοπο όταν φ''(ξ)=μ<0
άρα τα Μ,μ βρίσκονται στα άκρα οπότε Μ=μ=0 δηλαδή φ(χ)=0

[chris_gatos]

Ναι Ροδόλφε, αυτό είναι. Και με διαφορετικό τρόπο σκεπτόμενος. Πιο σύντομα και τελειώσαμε...

[kostas.zig]

Επειδή η λυκειακή λύση υπάρχει στη σελίδα 296 του βιβλίου ''επαναληπτικά θέματα στα μαθηματικά Γ'Λυκείου''
του Μιχάλη Λάμπρου(αλλά και Δαμβακάκη-Κτιστάκη-Σπανουδάκη), θα ήταν ιερόσυλο να την αντιγράψω...
Για να δώσω κάποια βοήθεια σ'όσους δεν έχουν το βιβλίο. η απόδειξή γίνεται με τη χρήση του Θ. Μέγιστης-ελάχιστης τιμής ,του Θ.Fermat και του κριτηρίου της 2ης παραγώγου...Οι ασκήσεις που βρίσκονται προς το τέλος του βιβλίου,πραγματικά ''ξυρίζουν'' και είναι διδακτικότατες στο maximum.

Μια και το βιβλίο το έχω, άποψή μου είναι (αν και τρέφω ιδιαίτερη εκτίμηση στον κύριο Λάμπρου και στους συναδέλφους φροντιστές συγγραφείς του βιβλίου) ότι πολλές ασκήσεις "ξεφεύγουν" από το "πνεύμα των εξετάσεων" με την έννοια φυσικά των θεμάτων που έουν τεθεί μέχρι τώρα. Βέβαια προτείνεται για μαθητές με απαιτήσεις μια και τα δικά μου δεδομένα σε σχέση με το χρόνο που έχουν την δυνατότητα να ασχοληθούν οι περισσότεροι μαθητές προτιμότερο είναι να επιλέγουν πιο ¨κλασικά βιβλία¨όπως του Μπάμπη ή του Μπάρλα ή κάποιων άλλων συγγραφέων. Φυσικά λέω για μαθητές που χρησιμοποιούν αρκετά βιβλία, ένα τέτοιο βιβλίο αποτελεί πράγματι κάτι το ξεχωριστό!

[m.pαpαgrigorakis]

Καλησπέρα
Στο συνημμένο είναι ένα σχετικό αρχείο από το παλιό καλό MATHEMATICA.
Δυστυχώς από εκείνα που σβήστηκαν.
Απολαύστε τον Ν Μαυρογιάννη.

[R BORIS]

Μια άσκηση στο ίδιο πνεύμα της κουβέντας μας είναι και η

Αν στην γραφική παράσταση της δεν υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα και τότε να δείξετε ότι η έχει το πολύ
ι. μια ρίζα
ιι. ένα σημείο καμπής
ιιι. ένα ακρότατο

[Mihalis_Lambrou]

Έστω f: [α,β] -> R, δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με f(α)=f(β)=0 και f''(x)+f'(x)=f(x) για κάθε χ στο R.Να βρείτε τον τύπο της f .

Η λύση του Ροδόλφου, όπως και η λύση στο αναφερθέν βιβλίο, είναι ουσιαστικά με τεχνικές της θεωρίας Sturm-Liouville. Άγνωστες βέβαια στον μαθητή, αλλά είναι ωραία ευκαιρία να δει μία ειδική περίπτωση "στα μέτρα του".

Δίνω μία διαφορετική λύση, πιό κοντά(;) στον μαθητή, που δεν την σκέφτηκα όταν έγραφα το βιβλίο:

Αν λ ρίζα της λ - 1/λ = 1 (άρα λ = ... ) η εξίσωση γράφεται



Άρα για κάποια σταθερά Α ισχύει

.

Τώρα ήρθε σε γνωστή, καλομελετημένη, μορφή: Πολλαπλασιάζουμε επί οπότε



άρα για σταθερές Β και C είναι



δηλαδή

(η οποία παρεμπιπόντως είναι η γενική λύση της εξίσωσης, την οποία βρήκε με άλλο τρόπο ο Αλέξανδρος (cretanman) παραπάνω).

Οι αρχικές συνθήκες θα δώσουν Β = C = 0.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

[chris_gatos]

Nα διευκρινίσω πως το ''διδακτικές'' το είπα εννοώντας,εμάς τους μαθηματικούς. Όντως το βιβλίο είναι ένα επίπεδο πάνω.

[R BORIS]

χρωστάω την λύση της προηγούμενης
Λοιπόν
ι)αφού δεν υπάρχει διάστημα στο οποίο η συνάρτηση να είναι σταθερή και αν α μια ρίζα της τότε αν υποθέσω ότι b μια ακόμη ρίζα της στο (a,b) η f θα διατηρεί σταθερό πρόσημο
Αν είναι f(x)<0 τότε f κοίλη [1]
Από Rolle υπάρχει ξ στο (a,b):f '(ξ)=0 [2]
από [1],[2] f '(x)>0 στο (α,ξ) και αντίθετα στο (ξ,b)
άρα αφού f συνεχής είναι f γνήσια αύξουσα στο [α,ξ] και αντίθετα στο [ξ,b]
τότε όμως f(x)>0 και στο (α,ξ] και στο [ξ,b) άτοπο (όμοια και αν f(χ)>0)
ιι)επειδή οι ρίζες της f είναι και ρίζες της f '' θα έχουμε το πολύ μια ρίζα άρα και ένα σημείο καμπής σύμφωνα με το προηγούμενο
ιιι) η f είναι τουλάχιστον δυο φορές παραγωγίσιμη άρα και η Af δηλαδή η f '' .
τότε f '''(x)=Af '(x) συνεπώς λόγω του ι) η f ' έχει το πολύ μια ρίζα
άρα η f το πολύ ένα ακρότατο στο R
(αν λύναμε την Δ.Ε θα χρειαζόταν μεγάλη περιπτωσιολογία ανάλογα με τις σταθερές c1,c2 για να αποδειχθούν τα προηγούμενα)