Να βρείτε τον τύπο της f

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη στο R . Αν για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ ισχύει $\displaystyle{\mathop {lim}\limits_{h \to 0} \frac{{\,f(x + 4 h) - 2f(x + 2 h) + f(x)}}{{{h^2}}} = 24x - 8}$
και η εφαπτομένη της Cf στο σημείο M(1 , f(1)) έχει εξίσωση y = 5x – 8 , να βρείτε τον τύπο της f .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

kwstas12345 · #2

Mια λύση :

$\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(4h+x \right)-2f\left(2h+x \right)+f\left(x \right)}{h^{2}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left(f\left(4h+x \right)-2f\left(2h+x \right)+f\left(x \right) \right)'}{\left(h^{2} \right)'}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{4f'\left(4h+x \right)-4f'\left(2h+x \right)+f'\left(x \right)}{2h}=\frac{1}{2}\left(4\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f'\left(4h+x \right)-f'\left(2h+x \right)}{h}\right)=2\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f'\left(x+4h \right)-f'\left(x+2h \right)}{h}=2\lim_{h\rightarrow 0}2\frac{f'\left(x+4h \right)-f'\left(x+2h \right)}{\left(x+4h \right)-\left(x+2h \right)}=4\lim_{u\rightarrow 0}\frac{f\left(x+u \right)-f\left(u \right)}{u}=4f''\left(x \right),u=2h$

$\displaystyle f''\left(x \right)=6x-2=\left(3x^{2}-2x \right)' \Rightarrow f'\left(x \right)=3x^{2}-2x+c$

Όμως: $\displaystyle {f'\left(1 \right)=5}$ άρα: $\displaystyle f'\left(1 \right)=5\Leftrightarrow 3-2+c=5\Rightarrow c=4\Rightarrow f'\left(x \right)=3x^{2}-2x+4\Leftrightarrow f'\left(x \right)=\left(x^{3}-x^{2}+4x \right)'\Leftrightarrow f\left(x \right)=x^{3}-x^{2}+4x+c'$

Το σημείο: $\displaystyle \left(1,f\left(1 \right) \right)\equiv \left(1,c'+4 \right)$ και θα επαλυθευει τον τύπο της εφαπρομενης άρα:

$\displaystyle {c'+4=5-8=-3\Rightarrow c=-7}$

άρα: $\displaystyle \boxed{f\left(x \right)=x^{3}-x^{2}+4x-7}$

Πιστεύω να μην χάνω στις πράξεις...

Εdit:Εγινε μια διορθωση ,νομιζα η f''

ήταν συνεχης.

Ωmega Man · #3

Έχουμε,
$\displaystyle{\bf y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})\overset{(x_{0},y_{0})=(1,f(1))}{\Longrightarrow}y=f'(1)x-f'(1)+f(1)\Rightarrow f'(1)=5,\;\;f(1)=-3}$
και
$\displaystyle{\bf\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+4h)-2f(x+2h)+f(x)}{2h^{2}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{4f'(x+4h)-4f'(x+2h)}{2h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{16f''(x+4h)-8f''(x+2h)}{2}=\frac{8f''(x)}{2}=4f''(x)}$ .

Επίσης $\displaystyle{\bf 4f''(x)=24x-8\Rightarrow f''(x)=6x-2\Rightarrow f'(x)=6\frac{x^{2}}{2}-2x+c}$ , το οποίο για $\displaystyle{\bf x=1}$ δίνει $\displaystyle{\bf c=4}$ . Άρα $\displaystyle{\bf f'(x)=3x^{2}-2x+4}$ , το οποίο δίνει με την σειρά του $\displaystyle{\bf f(x)=x^{3}-x^{2}+4x+d}$ το οποίο για $\bf x=1$ δίνει $\displaystyle{\bf d=-7}$ , άρα $\displaystyle{\bf f(x)=x^{3}-x^{2}+4x-7}$ και επομενως συμφωνεί με το αποτέλεσμα του Κώστα.

Η δική μου λύση είναι σωστή αν ξέραμε ότι $\displaystyle{\bf f'' }$ είναι συνεχής.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #4

Το αποτέλεσμα είναι σωστό αλλά η f ΄΄ δε γνωρίζουμε αν είναι συνεχής

.
Για να καταλήξουμε στο f ΄΄(x) πρέπει να δουλέψουμε με τον ορισμό ...

parpen · #5

μετά το $2(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f'(x+4h)-f'(x+2h)}{h})$

χρειάζεται προσθαφαίρεση το f '(x) στον αριθμητή και διάσπαση του κλάσματος ώστε να προκύψει η f '' με εφαρμογή του ορισμού.

Τα λοιπά είναι εντάξει.

Να βρείτε τον τύπο της f

Να βρείτε τον τύπο της f

Re: Να βρείτε τον τύπο της f

Re: Να βρείτε τον τύπο της f

Re: Να βρείτε τον τύπο της f

Re: Να βρείτε τον τύπο της f

Μέλη σε σύνδεση