Ανίσωση με μεταβλητή

Djimmakos · #1

Να αποδειχθεί ότι για κάθε θετικό x και 0<α<1 ισχύει

x^a-ax<e^x-ex+a+1

Η δική μου λύση είναι με ακρότατο και σύνολο τιμών.
Για κάτι τέτοιες ασκήσεις αγαπάω τα μαθηματικά κατεύθυνσης και υπομένω την ατελείωτη - βαρετή μεθοδολογία που μας μαθαίνουν, για ασκήσεις που καμιά μεθοδολογία δε μπορεί να σου πει τι να κάνεις

kwstas12345 · #2

Θεωρούμε την συνάρτηση:

$\displaystyle f\left(x \right)=e^{x}-ex+a+1+ax-x^{a},x>0,0<a<1$ με πρώτη και δεύτερη παράγωγο αντίστοιχα:

$\displaystyle f'\left(x \right)=e^{x}-e+a-ax^{a-1}$ και

$\displaystyle f''\left(x \right)=e^{x}-a\left(a-1 \right)x^{a-2}>0,0<a<1$

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της και θα έχει άν έχει μοναδική ρίζα.

Παρατηρούμε πως το $\displaystyle x=1$ είναι ρίζα και μάλιστα μοναδική. Eύκολα από τον πίνακα μονοτονίας προκύπτει ότι η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στην θέση $x_{0}=1$ άρα: $\displaystyle f'\left(x \right)\geq f'\left(1 \right)=0$ .

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της αφού η παράγωγος είναι θετική και μηδενίζεται σε μεμονομένο σημείο.

Έτσι: $\displaystyle f\left(x \right)>f\left(0 \right)>0\Rightarrow e^{x}-ex+a+1>x^{a}-ax,\forall x>0,0<a<1$

Ανίσωση με μεταβλητή

Ανίσωση με μεταβλητή

Re: Ανίσωση με μεταβλητή

Μέλη σε σύνδεση