min f=?

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2159
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

min f=?

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Δεκ 07, 2010 1:34 pm

Αν \displaystyle{f(u,v)=4v^2+(ln(u+v)-e^{u-v})^2 }

τότε να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της f όταν \displaystyle{u\in R,v\in R ,u>-v} καθώς και τα αντίστοιχα \displaystyle{u,v} που την καθιστούν ελάχιστη

(Η άσκηση λύνεται και με "λυκειακές" γνώσεις)


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2159
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: min f=?

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Δεκ 08, 2010 12:05 am

R BORIS έγραψε:Αν \displaystyle{f(u,v)=4v^2+(ln(u+v)-e^{u-v})^2 }

τότε να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της f όταν \displaystyle{u\in R,v\in R ,u>-v} καθώς και τα αντίστοιχα \displaystyle{u,v} που την καθιστούν ελάχιστη

(Η άσκηση λύνεται και με "λυκειακές" γνώσεις)
υπόδειξη
να θέσετε u+v=x, u-v=y .Τι παριστάνει η τότε η f?


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1840
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: min f=?

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Τετ Δεκ 08, 2010 1:38 am

Μετά την αντικατάσταση με
u+v=x,u-v=y
προκύπτει:
x-y=2v, x+y=2u
και η συνάρτηση γίνεται:
f(x,y)=(x-y)^2+(lnx-e^y)^2
και εκφράζει το τετράγωνο της απόστασης των σημείων C,D
που ανήκουν στα γραφήματα της εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης αντίστοιχα,
όπως φαίνεται και στο σχήμα.
Η απόσταση αυτή γίνεται ελάχιστη όταν τα σημεία αυτά λάβουν τις θέσεις των Ι και Η αντίστοιχα.
Αυτό ισχύει διότι τα γραφήματα αυτά είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας
και έτσι αν θεωρήσουμε το C ως τυχαίο της εκθετικής συνάρτησης, η απόσταση του σημείου αυτού από την διχοτόμο της
πρώτης γωνίας ελαχιστοποιείται όταν χ=0 και y=1.
Πράγματι αν είναι:
C(x,e^x) ένα τυχαίο σημείο της εκθετικής συνάρτησης και η διχοτόμος της πρώτης γωνίας \delta :y=x
η απόσταση:
d(x)=d(C,\delta )=\frac{\left|x-e^x \right|}{\sqrt{2}}=\frac{e^x-x}{\sqrt{2}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
Επομένως το ζητούμενο ελάχιστο είναι η τιμή\sqrt{2}
Σημείωση:
1η Χρησιμοποιήθηκε το γνωστό e^x\geq x+1,x\in R που μπορεί να δειχθεί με λυκειακές γνώσεις
2η Θα μπορούσε η f ως συνάρτηση με δύο μεταβλητές να μελετηθεί και με το κριτήριο των μερικών παραγώγων
Συνημμένα
Ελάχιστο.PNG
Ελάχιστο.PNG (30.82 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2159
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: min f=?

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Δεκ 08, 2010 7:24 am

:10sta10: ακριβώς αυτό.Να τονίσουμε ότι όταν η CD έχει τοπικό ακρότατο οι εφαπτόμενες στα C,D είναι // και κάθετες στην CD(ασκηση 8Γ4 σελ 141 εδώ)


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1840
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: min f=?

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Τετ Δεκ 08, 2010 8:19 am

Έχεις δίκιο.
Για να είμαι ειλικρινής τις είχα σχεδιάσει έτσι όπως το λες,
αλλά μερικές φορές όταν βάζω σχήματα νομίζω πώς υπερβάλλω κι όλο αρκούμαι στα στοιχειώδη.
Στην προκειμένη περίπτωση οι εφαπτόμενες των δύο συναρτήσεων στα C, D
είναι παράλληλες προς τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας
και δημιουργούν μια ζώνη:
(να το πούμε κι έτσι: μια λεωφόρος ελεύθερη... από τις συγκεκριμένες τροχιές, στρωμένη με πράσινη ανοιξιάτικη χλόη, όπου οι πεζοί μπορούν να περπατούν ξένοιαστοι κι ελεύθεροι!...)
Συγνώμη για τον παραλληλισμό. Ήταν πρωινός αυθορμητισμός!

Κώστας Δόρτσιος
Συνημμένα
ελάχιστο 1.PNG
ελάχιστο 1.PNG (24.79 KiB) Προβλήθηκε 343 φορές
τελευταία επεξεργασία από KDORTSI σε Τετ Δεκ 08, 2010 9:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: min f=?

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Δεκ 08, 2010 7:15 pm

Μμμμ λολ την ίδια ιδέα περίπου σκέφτηκα εδώ viewtopic.php?f=55&t=5228


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης