min f=?

#1

Αν $\displaystyle{f(u,v)=4v^2+(ln(u+v)-e^{u-v})^2 }$

τότε να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της f όταν $\displaystyle{u\in R,v\in R ,u>-v}$ καθώς και τα αντίστοιχα $\displaystyle{u,v}$ που την καθιστούν ελάχιστη

(Η άσκηση λύνεται και με "λυκειακές" γνώσεις)

#2

R BORIS έγραψε:Αν $\displaystyle{f(u,v)=4v^2+(ln(u+v)-e^{u-v})^2 }$

τότε να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της f όταν $\displaystyle{u\in R,v\in R ,u>-v}$ καθώς και τα αντίστοιχα $\displaystyle{u,v}$ που την καθιστούν ελάχιστη

(Η άσκηση λύνεται και με "λυκειακές" γνώσεις)

υπόδειξη

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Μετά την αντικατάσταση με
u+v=x,u-v=y

προκύπτει:
x-y=2v, x+y=2u

και η συνάρτηση γίνεται:
f(x,y)=(x-y)^2+(lnx-e^y)^2

και εκφράζει το τετράγωνο της απόστασης των σημείων C,D
που ανήκουν στα γραφήματα της εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης αντίστοιχα,
όπως φαίνεται και στο σχήμα.
Η απόσταση αυτή γίνεται ελάχιστη όταν τα σημεία αυτά λάβουν τις θέσεις των Ι και Η αντίστοιχα.
Αυτό ισχύει διότι τα γραφήματα αυτά είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας
και έτσι αν θεωρήσουμε το C ως τυχαίο της εκθετικής συνάρτησης, η απόσταση του σημείου αυτού από την διχοτόμο της
πρώτης γωνίας ελαχιστοποιείται όταν χ=0 και y=1.
Πράγματι αν είναι:
C(x,e^x)

ένα τυχαίο σημείο της εκθετικής συνάρτησης και η διχοτόμος της πρώτης γωνίας $\delta :y=x$
η απόσταση:
$d(x)=d(C,\delta )=\frac{\left|x-e^x \right|}{\sqrt{2}}=\frac{e^x-x}{\sqrt{2}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Επομένως το ζητούμενο ελάχιστο είναι η τιμή $\sqrt{2}$
Σημείωση:
1η Χρησιμοποιήθηκε το γνωστό $e^x\geq x+1,x\in R$ που μπορεί να δειχθεί με λυκειακές γνώσεις
2η Θα μπορούσε η f ως συνάρτηση με δύο μεταβλητές να μελετηθεί και με το κριτήριο των μερικών παραγώγων

#4

ακριβώς αυτό.Να τονίσουμε ότι όταν η CD έχει τοπικό ακρότατο οι εφαπτόμενες στα C,D είναι // και κάθετες στην CD(ασκηση 8Γ4 σελ 141 εδώ)

#5

Έχεις δίκιο.
Για να είμαι ειλικρινής τις είχα σχεδιάσει έτσι όπως το λες,
αλλά μερικές φορές όταν βάζω σχήματα νομίζω πώς υπερβάλλω κι όλο αρκούμαι στα στοιχειώδη.
Στην προκειμένη περίπτωση οι εφαπτόμενες των δύο συναρτήσεων στα C, D
είναι παράλληλες προς τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας
και δημιουργούν μια ζώνη:
(να το πούμε κι έτσι: μια λεωφόρος ελεύθερη... από τις συγκεκριμένες τροχιές, στρωμένη με πράσινη ανοιξιάτικη χλόη, όπου οι πεζοί μπορούν να περπατούν ξένοιαστοι κι ελεύθεροι!...)
Συγνώμη για τον παραλληλισμό. Ήταν πρωινός αυθορμητισμός!

Κώστας Δόρτσιος

mathxl · #6

Μμμμ λολ την ίδια ιδέα περίπου σκέφτηκα εδώ viewtopic.php?f=55&t=5228

min f=?

min f=?

Re: min f=?

Re: min f=?

Re: min f=?

Re: min f=?

Re: min f=?

Μέλη σε σύνδεση