Η δύναμη της αντίστροφης

#1

i)Έστω ότι υπάρχει συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R}$ για την οποία ισχύει η σχέση : $\displaystyle{ \boxed{e^{f\left( x \right)} + f\left( x \right) = x + 1}:\left( 1 \right) }$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

i) Να δείξετε ότι ισχύει: $\displaystyle{e^x > x}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ και $\displaystyle{\ln x < x}$ για κάθε $\displaystyle{x > 0}$

ii) Να δείξετε ότι αν για δύο συναρτήσεις f, g ισχύει:

a) $\displaystyle{f\left( x \right) \geqslant g\left( x \right)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \Delta \subseteq {\rm A}_f \cap {\rm A_g}$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \sigma } g\left( x \right) = + \infty }$ τότε και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \sigma } f\left( x \right) = + \infty }$ (με την προϋπόθεση ότι έχουν νόημα τα όρια)

b) $\displaystyle{f\left( x \right) \leqslant g\left( x \right)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \Delta \subseteq {\rm A}_f \cap {\rm A}_g }$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \sigma } g\left( x \right) = - \infty }$ τότε και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \sigma } f\left( x \right) = - \infty }$ (με την προϋπόθεση ότι έχουν νόημα τα όρια).

iii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f που ικανοποιεί τη σχέση (1) είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφή της.

iv) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R

v) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και τα κοίλα.

vi) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{f\left( x \right) = 0}$

vii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x’x
και την ευθεία με εξίσωση $\displaystyle{x = \alpha }$ με $\displaystyle{\alpha > 0}$ συναρτήσει του $\displaystyle{f\left( \alpha \right)}$

viii) Να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

Στάθης

#2

.....μία νυχτερινή βόλτα με την αντίστροφη....

ι) Από την βασική ${{e}^{x}}\ge x+1$ (… η ${{e}^{x}}$ είναι κυρτή στο R και έχει εφαπτομένη στο σημείο (0, 1) την y=x+1

…..) επειδή x+1>x

για $x\in R$ θα είναι ${{e}^{x}}>x$ για κάθε $x\in R$
επίσης από την $\ln x\le x-1$ (… η $\ln x$ είναι κοίλη στο $(0,\,\,+\infty )$ και έχει εφαπτομένη στο σημείο (1, 0) την y=x-1

…) επειδή

θα είναι $\ln x<x$ για κάθε $x\in (0,\,\,+\infty )$

ιι) α) Αφού $\underset{x\to \sigma }{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty$ η g(x)>0

σε μία περιοχή του σ οπότε από $f(x)\ge g(x)>0$ θα έχουμε $0<\frac{1}{f(x)}<\frac{1}{g(x)}$ και από κριτήριο παρεμβολής $\underset{x\to \sigma }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)}=0$ άρα $\underset{x\to \sigma }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$

b) Αφού $\underset{x\to \sigma }{\mathop{\lim }}\,g(x)=-\infty$ η g(x)<0

οπότε από $f(x)\le g(x)<0$ θα έχουμε $\frac{1}{g(x)}<\frac{1}{f(x)}<0$ και από κριτήριο παρεμβολής $\underset{x\to \sigma }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)}=0$ άρα $\underset{x\to \sigma }{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty$

ιιι) Από ${{e}^{f(x)}}+f(x)=x+1$ από $f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})$ προκύπτει και ${{e}^{f({{x}_{1}})}}={{e}^{f({{x}_{2}})}}$ άρα και ${{e}^{f({{x}_{1}})}}+f({{x}_{1}})={{e}^{f({{x}_{2}})}}+f({{x}_{2}})$ επομένως λόγω της ισότητας και ${{x}_{1}}+1={{x}_{2}}+1\Leftrightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}$ άρα είναι 1-1

όποτε η

αντιστρέψιμη με ${{f}^{-1}}:\,f(R)\to R$
Τώρα αν υποθέσουμε ότι υπάρχει $\alpha \in R$ ώστε $f(x)\ne \alpha$ για κάθε $x\in R$ τότε $f(x)>\alpha$ ή $f(x)<\alpha$ για κάθε $x\in R$ έτσι αν $f(x)>\alpha$ τότε και ${{e}^{f(x)}}>{{e}^{\alpha }}$ οπότε ${{e}^{f(x)}}+f(x)>{{e}^{\alpha }}+\alpha$ ή $x+1>{{e}^{\alpha }}+\alpha$ για κάθε $x\in R$ άτοπο. Ομοια καταλήγουμε σε άτοπο με $f(x)<\alpha$ , επομένως το σύνολο τιμών της

είναι το R πεδίο ορισμού της ${{f}^{-1}}$ . Έτσι στην ${{e}^{f(x)}}+f(x)=x+1$ βάζοντας όπου

το ${{f}^{-1}}(x)$ με $x\in R$ προκύπτει ${{e}^{f({{f}^{-1}}(x))}}+f({{f}^{-1}}(x))={{f}^{-1}}(x)+1$ άρα ${{e}^{x}}+x={{f}^{-1}}(x)+1\Leftrightarrow {{f}^{-1}}(x)={{e}^{x}}+x-1$

iv) θα μπορούσαμε να πούμε επειδή η αντίστροφη της είναι παραγωγίσιμη με $({{f}^{-1}}(x){)}'={{e}^{x}}+1\ne 0,\,\,\,\,x\in R$ και η

είναι παραγωγίσιμη λόγω συμμετρίας με την y=x

στο διάστημα των πραγματικών… αλλά πιστεύω ότι υπάρχει αλγεβρική απόδειξη….αύριο δεν είναι ώρα κατάλληλη για τέτοια...

v) Από ${{e}^{f(x)}}+f(x)=x+1$ παραγωγίζοντας προκύπτει ${{e}^{f(x)}}{f}'(x)+{f}'(x)=1\Leftrightarrow {f}'(x)=\frac{1}{{{e}^{f(x)}}+1}>0$ άρα η

γνήσια αύξουσα στο R, χωρίς ακρότατα, και {f}'

παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων, με ${f}''(x)=-\frac{{{e}^{f(x)}}{f}'(x)}{{{({{e}^{f(x)}}+1)}^{2}}}<0$ άρα

κοίλη στο R χωρίς σημεία καμπής.
vi) $f(x)=0\Leftrightarrow x={{f}^{-1}}(0)={{e}^{0}}+0-1=0\Leftrightarrow x=0$

vii) Λόγω συμμετρίας με την y=x

των $f,\,\,\,{{f}^{-1}}$ και του {x}'x

,

και της $x=\alpha ,\,\,y=\alpha$ το εμβαδό του ζητούμενου χωρίου θα είναι ίσο με το εμβαδό μεταξύ των $y=\alpha >0$ , της ${{f}^{-1}}$ και του {y}'y

άρα $E(\Omega )=\int\limits_{0}^{f(\alpha )}{(\alpha -{{e}^{x}}-x+1)dx=.....}$
viii) … δεν τα έχω καταφέρει ακόμη με τα σχήματα….θα μάθω όμως που θα πάει

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Savvass · #3

Θα ήθελα να κάνω κάποιες ερωτήσεις σχετικά με το ιιι) ερώτημα

Έστω συνάρτηση g(x)=e^x + x

,

Εύκολα τώρα δείχνουμε ότι η

είναι αντιστρέψιμη και ισχύει g(R)=R

Επισης θέτω h(x)=x+1

,

και

, και η

προφανώς είναι αντριστρέψιμη.
Απο την δοσμένη σχέση έχουμε:

$g(f(x))=x+1\quad\Rightarrow\quad f(x)=g^{-1}(x+1)$

Μπορούμε τώρα να πούμε ότι η

είναι αντριστρέψιμη αφού και η $g^{-1}(x+1)$ είναι αντιστρέψιμη;

Μετά για το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ :

$Df^{-1}=f(R)=g^{-1}(h(R))=g^{-1}(R)=Dg=R$ .

Το παραπάνω είναι σωστό σε επίπεδο πανελληνίων: Με ανησυχεί η χρήση του f(R)

καθώς δεν το έχω δει να χρησημοποιείται στο σχολικό βιβλίο.

Συγνώμη για τους άκομψους συμβολισμούς δεν έχω ασχοληθεί καθόλου με το Latex και τώρα δεν είναι η πιο κατάλληλη περίοδος.

Η δύναμη της αντίστροφης

Η δύναμη της αντίστροφης

Re: Η δύναμη της αντίστροφης

Re: Η δύναμη της αντίστροφης

Μέλη σε σύνδεση