Nα λυθεί η εξίσωση

Σ. Διονύσης · #1

Nα λυθεί η εξίσωση:

$11^x+13^x=19^x+5^x \; , \; x\in\mathbb{R}$

#2

Έστω $\displaystyle{x}$ ρίζα της εξίσωσης.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(t)=t^x, t>0.}$

Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής στα διαστήματα $\displaystyle{[5,11],~[13,19]}$ υπάρχουν $\displaystyle{a,b}$ αντίστοιχα, ώστε

$\displaystyle{f'(a)=\frac{11^x-5^x}{6},~f'(b)=\frac{19^x-13^x}{6},}$ άρα

$\displaystyle{f'(a)=f'(b)\implies xa^{x-1}=xb^{x-1}\implies x=0\vee x=1.}$

Οι τιμές αυτές φανερά ικανοποιούν την εξίσωση, άρα είναι οι ρίζες της.

Σ. Διονύσης · #3

Ωραία!

christodoulou · #4

Με τον παραπάνω τρόπο λύνονται εξισώσεις της μορφής : $\alpha ^{x}+\beta ^{x}=\gamma ^{x}+\delta ^{x}$
όπου $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ θετικοί διαφορετικοί μεταξύ τους τέτοιοι ώστε : $\alpha +\beta =\gamma +\delta$ .

Nα λυθεί η εξίσωση

Nα λυθεί η εξίσωση

Re: Nα λυθεί η εξίσωση

Re: Nα λυθεί η εξίσωση

Re: Nα λυθεί η εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση