Σχόλιο σελίδας 254

#1

Αντιγράφω από το σχολικό ...

Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=x^3

αν και είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ , εντούτοις έχει παράγωγο f'(x)=3x^2

η οποία δεν είναι θετική σε όλο το $\mathbb{R}$ , αφού f'(0)=0

. Ισχύει όμως $f'(x) \geq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Το σχόλιο αυτό επιτρέπει κατά τη γνώμη σας τη χρήση του αντιστρόφου του θεωρήματος της σελίδας 253;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Chris_Math · #2

Θα συμφωνήσω. Το παράδειγμα, λογικά, το παρεθέτει για να δείξει πως αν μία συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα φθίνουσα) σε ένα Δ, δεν έχει κατ' ανάγκη γνησίως θετική (αντίστοιχα αρνητική) παράγωγο σε κάθε εσωτερικό σημείο σημείο του Δ, οπότε δεν ισχύει το αντίστροφο.
Μήπως, όμως, η αναφορά στο παράδειγμα μας επιτρέπει τη χρήση του αντιστρόφου σε περίπτωση που μηδενίζεται σε μεμονωμένα σημεία του πεδίου ορισμού της, ενώ στο υπόλοιπο πεδίο ορισμού της έχει θετική (ή αρνητική) παράγωγο?

#3

Σίγουρα όχι Λευτέρη! Και απορώ που οι λύσεις του ΟΕΦΕ στο 4ο θέμα επικαλούνται αυτό το (δήθεν) σχόλιο!

#4

..Συνφωνώ και εγώ απολυτα με τον Θάνο και το Λευτέρη, αφού η αναφορα στο σχόλιο του
σχολικού βιβλίου γίνεται ξεκάθαρα για την συγκεκριμένη συνάρτηση και είναι από εκείνα που
επεισημαίνω στους μαθητές μου, ότι προφανώς δεν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος της μονοτονίας
και όταν δίνεται η μονοτονία μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης

να μη βγάζουν συμπέρασμα για το πρόσημο της

εκτός αν δείξουν ότι δεν γίνεται σε κανενα σημείο να ισχυει

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#5

Καλημέρα.
Η γνώμη μου διαφέρει από τη δική σας, το έχω ξαναπεί. Πως θα καταρρίψουμε τον ισχυρισμό ενός μαθητή
ο οποίος λέει "μου δίνετε μία γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη
συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ. Ωραία τότε σας λέω πως δε μπορεί παρά $f'(x)\ge 0$ στο Δ. "
Υπάρχει τρόπος να καταρριφθεί αυτός ο ισχυρισμός;
Το ότι το σχολικό βιβλίο έχει κενό σε αυτό το σημείο που αναφέρετε δεν υπάρχει συζήτηση. Ποιά όμως είναι η πρόθεση του;
Μπορούμε να βοηθήσουμε ακόμη περισσότερο κάνοντας την απόδειξη αυτού του ισχυρισμού στα παιδιά.
(Δε νομίζω πως θέλει παραπάνω από δύο γραμμές, ειδικά όταν είναι γνωστές οι ιδιότητες ορίων από προηγούμενο κεφάλαιο.)
Ακόμη κι έτσι όμως δε νομίζω πως υπάρχει περίπτωση να τεθεί το συγκεκριμένο θέμα, χωρίς την απαραίτητη κάλυψη από αυτούς που το βάζουν.
Ίσως ο ΟΕΦΕ ήθελε να προκαταβάλλει κάτι τέτοιο και έβαλε αυτό το ερώτημα.

#6

ΚΑΛΗΜΕΡΑ σε όλη τη μαθηματική παρέα !

Λοιπόν, πολύ πίεση μαζεύτηκε, ας χαλαρώσουμε λίγο ! Ό,τι γράφω παρακάτω το φαντάζομαι να λέγεται σε ένα ωραίο ΚΑΦΕ στην Ιπποκράτους, παρέα με το Λευτέρη, το Θάνο, τον Χρήστο τον Αλέξανδρο, τον Νίκο και καμιά δεκαριά ακόμα από όλους εσας που συνταξιδεύουμε χρόνια τώρα, όπου μέσα σε εύθυμο κλίμα και διάθεση θα γενικής πολιτικής, κοινωνικής και μαθηματικής εκτόνωσης θα ανταλλάσσαμε με φιλικότατη διάθεση απόψεις για το θέμα που άνοιξε ο Λευτέρης. Θα έλεγα περίπου αυτά , χωρίς να πιστεύω ότι έχω δίκαιο, αλλά έτσι για να γίνεται διάλογος !

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Αντιγράφω από το σχολικό ...

Για παράδειγμα η συνάρτηση
αν και είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ , εντούτοις έχει παράγωγο η οποία δεν είναι θετική σε όλο το $\mathbb{R}$ , αφού . Ισχύει όμως $f'(x) \geq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Λευτέρη, το έχουμε ξανακουβεντιάσει πολλές φορές . Ας δούμε όμως προσεκτικά τι λέει αυτό το απόσπασμα από το βιβλίο με αυτά που γράφει :

α) Προφανώς δεν πρόκειται για απόδειξη κάποιας πρότασης, ούτε μας ενδιαφέρει.

β) Τονίζει ότι αν μια συνάρτηση είναι γνήσια μονότονη, τότε η παράγωγός της (αν υπάρχει) μπορεί και να μηδενίζεται σε κάποια σημεία.Μέχρι εδώ όλοι συμφωνούμε.

γ) Με το '' Ισχύει όμως $f'(x) \geq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ που κλείνει ο συγγραφέας την παρατήρηση είναι σαν να θέλει να πει

στο μαθητή, με αφορμή το παράδειγμα , ότι γενικά , αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, τότε ισχύει ότι $f'(x)\geq 0$ .

Αν δεν ήθελε να περάσει αυτό το μήνυμα και ήθελε μόνο το αντιπαράδειγμα, θα έγραφε απλά :

Για παράδειγμα η συνάρτηση αν και είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ , εντούτοις έχει παράγωγο η οποία δεν είναι θετική σε όλο το $\mathbb{R}$ , αφού .

και θα τελείωνε εκεί τη φράση.Το παρακάτω δεν προσθέτει τίποτα στην παρατήρηση, αλλά μπορεί να εκληφθεί ως μια πρόσθετη πληροφορία.

Δεν είμαστε νομικοί για να δίνουμε τέτοιες , αλλά αν ο μαθητής αποκόψει το συμπέρασμα

Ισχύει όμως $f'(x) \geq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$

που είναι μια νέα πρόταση και η οποία μάλιστα ακολουθεί ένα ολοκληρωμένο συμπέρασμα , τότε δεν βλέπω γιατί να μην το εκλάβει ως μόνιμη πρόταση.

Αλλά ακόμα και να μην έκανε το βιβλίο κανένα σχόλιο στο θέμα αυτό , το ότι η παράγωγος είναι μη αρνητική προκύπτει τόσο άμεσα από ιδιότητα των ορίων, μια και το όριο δεν διατηρεί την αυστηρή διάταξη, που καμία κατά τη γνώμη μου απόδειξη δεν χρειάζεται.

Ας το πάμε και λίγο πιο πέρα :

Αν δούμε έναν μαθητή να χρησιμοποιεί σωστά αυτή την πρόταση και ρωτήσουμε :'' που την άκουσε και από ποιον ; '' τι θα απαντήσουμε ; Από εμάς αναμφίβολα. Αφού λοιπόν εμείς του την είπαμε, είμαστε υποχρεωμένοι να τη δεχτούμε όπου και να την συναντήσουμε.Αλλιώς να μην του την λέγαμε.

Διαφορετικά είναι σαν να λέμε στο μαθητή :

'' θα σου πω τώρα μια πρόταση σωστή, αλλά επειδή οι άλλοι δεν την ξέρουν και μπορεί να την πάρουν λάθος, να μην την χρησιμοποιείς αν δεν την αποδείξεις''.

Συνάδελφοι, τα έχω πει χίλιες φορές : Να τελειώσνουμε σε αυτή τη χώρα με τις υποκρισίες και τις φοβίες και να περάσουμε στην ουσία : Μάθε μαθηματικά, κάνε μαθηματικά και απόλαυσέ τα !

Μπ.

( Να συμπληρώσω ότι όταν έστειλα το μήνυμα δεν είχα δει ακόμα το μήνυμα του Χρήστου , με τον οποίο έχουμε ξαναδεί αναλυτικά το θέμα αυτό.)

AMD · #7

Η λύση των θεμάτων ΟΕΦΕ είναι ακριβώς πάνω στο σχόλιο.
Εφ'οσον είναι διατυπωμένο ως ξεχωριστή πρόταση εντός του σχόλιου στο βιβλίο νομίζω η πρόθεση να χρησιμοποιείται είναι προφανής.
Για ποιόν άλλο λόγο να γράφει δύο φορές το ίδιο πράγμα; Δεν κάνουμε έκθεση ιδεών.

Μετέπειτα ο ισχυρισμός ότι f{'}(x)>0

πρέπει να αποδεικνύεται (στην περίπτωση που κάποιος θέλει να το χρησιμοποιήσει)

#8

Προσωπικά δεν έχω καμία αντίρρηση να χρησιμοποιούνται μαθηματικές γνώσεις και εκτός σχολικού βιβλίου. Μέχρι ποιου σημείου όμως;

Αν κάποιος μαθητής επικαλεστεί τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού τι κάνουμε;

Άντε αυτό είναι στο σχολικό βιβλίο, οπότε ας (;;;) πούμε οκ.

Και αν κάποιος άλλος επικαλεστεί για παράδειγμα ότι το ζητούμενο είναι προφανές αφού ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θ. Darboux;;;

Και αν κάποιος πει ότι η διαφορική εξίσωση $\displaystyle{f''(x)=-f(x)}$ έχει γενική λύση $\displaystyle{f(x)=c_1sinx+c_2cosx}$ οπότε αρκεί να βρούμε τις σταθερές c_1,c_2

τι κάνουμε;

Καλώς ή κακώς η εξεταστέα ύλη προκύπτει από το σχολικό βιβλίο και ότι δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο θέλει ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Όποιος την κάνει μαγκιά του ...

Εξ' άλλου και οι οδηγίες στα θέματα γράφουν:

Κάθε μέθοδος επιστημονικά τεκμηριωμένη θεωρείται αποδεκτή.

AMD έγραψε:Η λύση των θεμάτων ΟΕΦΕ είναι ακριβώς πάνω στο σχόλιο.
Εφ'οσον είναι διατυπωμένο ως ξεχωριστή πρόταση εντός του σχόλιου στο βιβλίο νομίζω η πρόθεση να χρησιμοποιείται είναι προφανής.
Για ποιόν άλλο λόγο να γράφει δύο φορές το ίδιο πράγμα; Δεν κάνουμε έκθεση ιδεών.

Μετέπειτα ο ισχυρισμός ότι πρέπει να αποδεικνύεται (στην περίπτωση που κάποιος θέλει να το χρησιμοποιήσει)

Κατά τη γνώμη μου η λύση που δίνει η ΟΕΦΕ δεν είναι επιστημονικά τεκμηριωμένη και ως εκ τούτου δεν θεωρείται αποδεκτή.

hsiodos · #9

Μπάμπη καλημέρα!

Θα κάνω τον συνήγορο του

Αυτό που "μετράει" δεν είναι η προσωπική μας γνώμη αλλά το τι θα έπραττε ένας βαθμολογητής στην περίπτωση αυτή. Αυτό από που θα διασφαλισθεί;

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΚΑΛΗΜΕΡΑ σε όλη τη μαθηματική παρέα !

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Αντιγράφω από το σχολικό ...

Για παράδειγμα η συνάρτηση
αν και είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ , εντούτοις έχει παράγωγο η οποία δεν είναι θετική σε όλο το $\mathbb{R}$ , αφού . Ισχύει όμως $f'(x) \geq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Λευτέρη, το έχουμε ξανακουβεντιάσει πολλές φορές . Ας δούμε όμως προσεκτικά τι λέει αυτό το απόσπασμα από το βιβλίο με αυτά που γράφει :

α) Προφανώς δεν πρόκειται για απόδειξη κάποιας πρότασης, ούτε μας ενδιαφέρει.

β) Τονίζει ότι αν μια συνάρτηση είναι γνήσια μονότονη, τότε η παράγωγός της (αν υπάρχει) μπορεί και να μηδενίζεται σε κάποια σημεία.Μέχρι εδώ όλοι συμφωνούμε.

γ) Με το '' Ισχύει όμως $f'(x) \geq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ που κλείνει ο συγγραφέας την παρατήρηση είναι σαν να θέλει να πει

στο μαθητή, με αφορμή το παράδειγμα , ότι γενικά , αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, τότε ισχύει ότι $f'(x)\geq 0$ .

Αν δεν ήθελε να περάσει αυτό το μήνυμα και ήθελε μόνο το αντιπαράδειγμα, θα έγραφε απλά :

Για παράδειγμα η συνάρτηση αν και είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ , εντούτοις έχει παράγωγο η οποία δεν είναι θετική σε όλο το $\mathbb{R}$ , αφού .
και θα τελείωνε εκεί τη φράση.

Αν πράγματι ο συγγραφέας ήθελε να περάσει αυτό το μήνυμα γιατί δεν το κάνει και στο αντίστοιχο σχόλιο στην κυρτότητα , όπου μένει μόνο στο παράδειγμα χωρίς να γενικεύει;

Προσωπικά λέω στα παιδιά αν κάνουν χρήση να κάνουν και την απόδειξη.

S.E.Louridas · #10

Πάντως σίγουρα με το παράδειγμα αυτό ο Μαθητής θα πρέπει να κατανοήσει ότι: Μπορεί π.χ. μία συνάρτηση να είναι γνήσια αύξουσα χωρίς αυτό να συνεπάγεται υποχρεωτικά, ότι η παράγωγός της θα είναι θετική για κάθε τιμή του χ που αυτή ορίζεται, αφού πιθανόν να δέχεται και ρίζα. Όπως επίσης είναι υπαρκτό το ενδεχόμενο να έχουμε $f'\left(x_{0} \right)>0$ χωρίς αυτό να σημαίνει ότι η

είναι γνήσια αύξουσα κοντά στο x_0

.

#11

hsiodos έγραψε:Μπάμπη καλημέρα!

Αν πράγματι ο συγγραφέας ήθελε να περάσει αυτό το μήνυμα γιατί δεν το κάνει και στο αντίστοιχο σχόλιο στην κυρτότητα , όπου μένει μόνο στο παράδειγμα χωρίς να γενικεύει;

Προσωπικά λέω στα παιδιά αν κάνουν χρήση να κάνουν και την απόδειξη.

Γιώργο, εσύ ως δάσκαλος καλά κάνεις και τους λες να το αποδείξουν, αλλά αυτός που διορθώνει κακώς το απαιτεί, αν το συναντήσει. Δεν ξέρω πώς καταφέραμε να βλέπουμε τον βαθμολογητή ως έναν νόμιμο τρομοκράτη που κάνει ό,τι θέλει και κόβει μονάδες σε κάθετι που δεν του αρέσει. Εγώ στη μέχρι τώρα επαφή μου στα Β.Κ. βλέπω το αντίθετο, ότι δηλαδή κάθε συνάδελφος νοιώθει άβολα όταν αναγκάζεται ακόμα και από σίγουρα λάθη να στερήσει μονάδες, πόσο μάλλον όταν ο μαθητής χρησιμοποιεί σωστές σκέψεις.
Μπορεί λοιπόν αυτός ή άλλος συνάδελφος να αφαιρέσει μονάδες όταν βλέπει ότι ο μαθητής κάνει χρήση μιας απλής, προφανούς συχνά, πρότασης που την δίδαξαν οι συνάδελφοί του, με μόνο το πρόσχημα ότι δεν αναφέρεται ρητά στο σχολικό βιβλίο ; Το βρίσκω τελείως παράλογο.

Υπάρχουν ορισμένα πράγματα που η μαθηματική κοινότητα τα διδάσκει , μέσα και έξω από τα σχολεία, επειδή πιστεύει ότι είναι χρήσιμα για τη διαμόρφωση ικανής μαθηματικής στάθμης που θα επιτρέψει το μαθητή να συνεχίσει τις σπουδές του, αλλά και για να αγαπήσει τα μαθηματικά . Πολλά από αυτά είναι στοιχειώδεις προτάσεις που μερικές φορές υπάρχουν σε προηγούμενα σχολικά βιβλία και άλλες όχι . Εκτός αυτού ,το σωστό σχολείο και ο καλός εκπαιδευτικός νοιώθουν υποχρέωση να διδάξουν αυτά τα στοιχεία στους μαθητές τους. Έτσι επιβάλλεται !

Αλοίμονο αν ο διδάσκων δεν έχει την ελευθερία να πάει το μάθημα εκεί που πρέπει και να το διανθίσει με σχόλια, παρατηρήσεις, γενικεύσεις και συμπληρώσεις , μέσα στα πλαίσια που ο ρόλος του ως δάσκαλου του επιτρέπει, χωρίς βέβαια υπερβολές, διότι τότε αυτοκαταργείται .Ο καθηγητής δεν έχει πρωταρχικό ρόλο να ετοιμάσει έναν τυποποιημένο , άβολο υποψήφιο που έχει αποστηθίσει το σχολικό βιβλίο ,αλλά να καλιεργήσει κριτική σκέψη,ικανότητα σύνθεσης και επινόησης με ό,τι εργαλεία διαθέτει .

Είμαι πια σίγουρος ότι με το κλίμα που δημιουργούν οι εξετάσεις στην τελευταία τάξη, όλα αυτά ακυρώνονται, τόσο στα θεωρητικά μαθήματα όσο και στα μαθηματικά.Το εκπαιδευτικό μας σύστημα νοσεί και είμαστε όλοι υπεύθυνοι. Όχι απλά νοσεί, αλλά αποσυντίθεται.

Ως επίλογο, επαναλαμβάνω αυτό που πάντα λέω σε αυτή την περίπτωση και το ξέρουν καλά αυτοί που με ξέρουν :

Ό, τι υπάρχει στα σχολικά βιβλία όλων τάξεων, είτε διδάσκεται είτε όχι, είτε είναι εξεταστέα ύλη είτε όχι, οφείλει ο εκπαιδευτικός να το αποδέχεται ως γνωστή ύλη σε κάθε φάση αξιολόγησης , οποιασδήποτε βαθμίδας.

Πέρα από αυτό, γνωστή θα θεωρείται και κάθε πρόταση που υπάρχει στα κλασικά βιβλία μαθηματικών, μέχρι τα πανεπιστημιακά βιβλία πρώτου έτους,πόσο μάλλον προτάσεις που όλοι μας σχεδόν τις αναφέρουμε στις τάξεις μας . Ας μην ξεχνάμε ότι ειδικά ο διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός, στη μορφή που τον έχουν τα σχολικά μας βιβλία, είναι ύλη από την τριτοβάθμια εκπαίδευση.
Γιατί να μην μπορεί ο μαθητής να χρησιμοποιήσει οποιοδήποτε θεώρημα απειροστικού λογισμού , είτε αυτό είναι το θεώρημα Darboux είτε το γενικευμένο θεώρημα του Cauchy και ότιδήποτε άλλο οδηγεί σε λύση, αν έχει να τη χαρά ή την τύχη να το γνωρίζει ;

Είναι αυτονόητο ότι τα θέματα κάθε φύσης εξέτασης πρέπει να επιλέγονται ώστε να λύνονται τουλάχιστον με χρήση προτάσεων σχολικών βιβλίων και μάλιστα της εξετεταστέας ύλης.
Από εκεί και πέρα κάθε άλλη λύση, σε όποιο θεώρημα και να βασίζεται, πρέπει να εκλαμβάνεται πλήρως ως σωστή και να βαθμολογείται με άριστα. Ας φροντίζει ο θεματοδότης το θέμα να λύνεται μόνο με σχολική ύλη, αν δεν θέλει να το λύσουν οι μαθητές με χρήση άλλων εργαλείων. Αν αυτό δεν το μπορεί να το πετύχει , ας μην πάει για θεματοδότης.Υπάρχουν άλλοι που μπορούν και είνα χαρά μας να το λέμε .

Με αφορμή αυτό το θέμα , θα χαιρόμουν πολύ να συγκεντώσουμε κάπου λύσεις σε θέματα πανελληνίων που οι διαγωνιζόμενοι(δεν είναι μόνο μαθητές, μην το ξεχνάμε αυτό) χρησιμοποίησαν θεωρήματα εκτός σχολικών βιβλίων, πχ Flett, Darboux ,Παραγώγιση Cauchy, γενικευμένο cauchy αλλά και άλλα, όχι επώνυμα θεωρήματα, όπως πχ ότι κάθε συνεχής και 1- 1 συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη κλπ.

Σε μια τέτοια προσπάθεια δεν έχω δυστυχώς να παρουσιάσω τίποτα.Τόσα χρόνια δεν έχω βρει ούτε ένα γραπτό, ούτε μου ανέφερε κανείς κάτι. Μένω έτσι με την απορία τι ρόλο έχουν έχουν τελικά όλες αυτές οι ωραίες μεν αλλά υποθετικές συζητήσεις, αφού μέχρι τώρα κανένας μαθητής δεν μας χάρισε μια απόδειξη που να μας κάνει να ... τρίψουμε τα μάτια από θαυμασμό.
Δυστυχώς , όλες αυτές οι συζητήσεις που περιορίζονται μόνο στα μαθηματικά της Γ' Λυκείου, έχουν μοναδική αφετηρία την βαθμολογική τρομοκρατία που προσωπικά την ακούω συχνά και για χρόνια αλλά ευτυχώς δεν την έχω συναντήσει μέχρι τώρα.

Κλείνοντας , θα έλεγα ότι το σύνθημά μας προς τους μαθητές πρέπει να είναι :

Λύστε με όποιο τρόπο μπορείτε, με όποιες προτάσεις θέλετε ! Το σωστό βαθμολογείται με άριστα !

Με ένα τέτοιο σύνθημα όλη η μαθηματική κοινότητα θα συμπλεύσει με το προφανές και θα προσφέρει αληθινή χαρά στους μαθητές της αλλά και στον εαυτό της.
Διαφορετικά, μένοντας και επιμέντας στην ελλειμματική λογική θα συνεχίσει να δημιουργεί ελλειμματική κοινωνία , ελλειμματική οικονομία .

Μπ

(Γνωρίζω και σέβομαι τις αντιρρήσεις όσων καλών φίλων έχουν διαφορετική άποψη καθώς και που εστιάζουν τις αντιρρήσεις αυτές, αλλά είμαι σίγουρος ότι μπροστά στα θετικά στοιχεία που προκύψουν , οι επιφυλλάξεις αυτές αξίζει και πρέπει να παραμεριστούν.)

#12

matha έγραψε:Σίγουρα όχι Λευτέρη! Και απορώ που οι λύσεις του ΟΕΦΕ στο 4ο θέμα επικαλούνται αυτό το (δήθεν) σχόλιο!

Στο θέμα της ΟΕΦΕ που μόλις τώρα κοίταξα, όντως υπάρχει ένα σημείο που αξίζει να συζητηθεί.

Προφανώς δεν υπάρχει πρόβλημα ως προς την ορθότητα, ούτε ως προς τη μαθηματική επίπληση της αμφιλεγόμενης αναπόδεικτης πρότασης.

Η μόνη μου παρατήρηση είναι ότι το ερώτημα θα έπρεπε να μπορεί να αποδειχθεί και με άλλον τρόπο και αυτός με την ... επίμαχη πρόταση να είναι συμπληρωματικός.

Καλό είναι σε εξετάσεις να αποφεύγονται ερωτήματα, πόσο μάλλον στις Πανελλήνιες, που βασίζονται σε προτάσεις τέτοιας μορφής, διότι δεν υποχρεούται κάθε μαθητής να δώσει σε μια παράγραφο του βιβλίου την ερμηνεία που δίνουμε εμείς εκ των υστέρων. Οι προτάσεις που χρειάζονται για τη λύση μας άσκησης πρέπει να είναι ξεκάθαρα διατυπωμένες στο σχολικό βιβλίο. Το αν ο μαθητής ξέρει και μια άλλη , πχ αυτήν εδώ, και τη χρησιμοποιήσει, είναι ένα τελείως διαφορετικό πράγμα.

Μπάμπης

#13

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Κλείνοντας , θα έλεγα ότι το σύνθημά μας προς τους μαθητές πρέπει να είναι :

Λύστε με όποιο τρόπο μπορείτε, με όποιες προτάσεις θέλετε ! Το σωστό βαθμολογείται με άριστα !

Με ένα τέτοιο σύνθημα όλη η μαθηματική κοινότητα θα συμπλεύσει με το προφανές και θα προσφέρει αληθινή χαρά στους μαθητές της αλλά και στον εαυτό της.
Διαφορετικά, μένοντας και επιμέντας στην ελλειμματική λογική θα συνεχίσει να δημιουργεί ελλειμματική κοινωνία , ελλειμματική οικονομία .

Μπ

(Γνωρίζω και σέβομαι τις αντιρρήσεις όσων καλών φίλων έχουν διαφορετική άποψη καθώς και που εστιάζουν τις αντιρρήσεις αυτές, αλλά είμαι σίγουρος ότι μπροστά στα θετικά στοιχεία που προκύψουν , οι επιφυλλάξεις αυτές αξίζει και πρέπει να παραμεριστούν.)

Σε σχετική συζήτηση,

και παλιότερα και τώρα συμφωνώ με τον αξιότιμο και εκλεκτό συγγραφέα, φίλο Μπάμπη Στεργίου .

Είναι αδιανόητο να τιμωρούνται οι μαθητές επειδή είναι διαβασμένοι και ξέρουν πολλά.

Θα πει κάποιος έχει μάθει "τρικ" και λύνει ασκήσεις. Η γενική εικόνα του γραπτού, νομίζω ,μαζί με μια ωραία (αλλά ίσως όχι σύννομη με τη στενή έννοια της λέξης) λύση, μας δείχνει το δρόμο .

Νίκος

thanasis kopadis · #14

Πολύ ενδιαφέρουσα συζήτηση!
Στον αντίποδα να συμπληρώσω και τον ορισμό για το σημείο καμπής που ενώ είναι μέσα στην ύλη, δεν είναι εφαρμόσιμος και κατανοητός. Κάθε χρόνο για να τον εξηγήσω στους μαθητές μου (προκειμένου να μη γίνει στείρα αποστήθιση) αναγκάζομαι να τους πως όλα τα σχετικά περί μη παραγωγίσιμων συναρτήσεων και κατακόρυφων εφαπτομένων για να τους γράψω στο τέλος "εκτος ύλης" αφου διδάσκονται μόνο δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτησεις.

AMD · #15

Νομίζω ότι το ζήτημα προήλθε απο την λύση των θεμάτων ΟΕΦΕ.
Είναι σκόπιμη η σύγχυση ότι η διατύπωση " $f{'}(x)\geq 0$ " δεν είναι το αντίστροφο του θεωρήματος;

Άσκηση 6 β' ομάδας (σελ 257)
να βρεθούν οι τιμές του α, ώστε η f(x)=ax^3+3x^2+x+1

να είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$

Λύση (απο αυτή που δίνεται στους μαθητές με το λυσάρι):

$f{'}(x)=3ax^2+6x+1$ ,
$\Delta=12(3-a)$

Για α=3, η f{'}(x)

έχει διπλή ρίζα.
Επειδή η f είναι συνεχής για $x= -\frac{1}{3}$ και ισχύει f{'}(x)>0

για κάθε $x \neq -\frac{1}{3}$ , η f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε $x \in \mathbb{R}$

Που υπάρχει ως θεώρημα/πρόταση/σχόλιο αυτό που γράφει;

hsiodos · #16

AMD έγραψε:Νομίζω ότι το ζήτημα προήλθε απο την λύση των θεμάτων ΟΕΦΕ.
Είναι σκόπιμη η σύγχυση ότι η διατύπωση " $f{'}(x)\geq 0$ " δεν είναι το αντίστροφο του θεωρήματος;

Άσκηση 6 β' ομάδας (σελ 257)
να βρεθούν οι τιμές του α, ώστε η να είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$

Λύση (απο αυτή που δίνεται στους μαθητές με το λυσάρι):

$f{'}(x)=3ax^2+6x+1$ ,
$\Delta=12(3-a)$

Για α=3, η έχει διπλή ρίζα.
Επειδή η f είναι συνεχής για $x= -\frac{1}{3}$ και ισχύει για κάθε $x \neq -\frac{1}{3}$ , η f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε $x \in \mathbb{R}$

Που υπάρχει ως θεώρημα/πρόταση/σχόλιο αυτό που γράφει;

Στην επόμενη παράγραφο του σχολικού!

perpant · #17

hsiodos έγραψε:
AMD έγραψε:Νομίζω ότι το ζήτημα προήλθε απο την λύση των θεμάτων ΟΕΦΕ.
Είναι σκόπιμη η σύγχυση ότι η διατύπωση " $f{'}(x)\geq 0$ " δεν είναι το αντίστροφο του θεωρήματος;

Άσκηση 6 β' ομάδας (σελ 257)
να βρεθούν οι τιμές του α, ώστε η να είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$

Λύση (απο αυτή που δίνεται στους μαθητές με το λυσάρι):

$f{'}(x)=3ax^2+6x+1$ ,
$\Delta=12(3-a)$

Για α=3, η έχει διπλή ρίζα.
Επειδή η f είναι συνεχής για $x= -\frac{1}{3}$ και ισχύει για κάθε $x \neq -\frac{1}{3}$ , η f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε $x \in \mathbb{R}$

Που υπάρχει ως θεώρημα/πρόταση/σχόλιο αυτό που γράφει;
Στην επόμενη παράγραφο του σχολικού!

Είναι το θεώρημα στη σελίδα 262 αν θυμάμαι καλά και συγκεκριμένα το iii του θεωρήματος.

AMD · #18

Δηλαδή, για να το αποσαφηνίσω,
λέμε ότι η λύση δεν είναι σωστή, έτσι δεν είναι;
Αφού το θεώρημα για τα κρίσιμα σημεία έπεται της παραγράφου 2.6.

#19

Doloros έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Κλείνοντας , θα έλεγα ότι το σύνθημά μας προς τους μαθητές πρέπει να είναι :

Λύστε με όποιο τρόπο μπορείτε, με όποιες προτάσεις θέλετε ! Το σωστό βαθμολογείται με άριστα !

Με ένα τέτοιο σύνθημα όλη η μαθηματική κοινότητα θα συμπλεύσει με το προφανές και θα προσφέρει αληθινή χαρά στους μαθητές της αλλά και στον εαυτό της.
Διαφορετικά, μένοντας και επιμέντας στην ελλειμματική λογική θα συνεχίσει να δημιουργεί ελλειμματική κοινωνία , ελλειμματική οικονομία .

........

Σε σχετική συζήτηση,

και παλιότερα και τώρα συμφωνώ με τον αξιότιμο και εκλεκτό συγγραφέα, φίλο Μπάμπη Στεργίου .

.................

Θα πει κάποιος έχει μάθει "τρικ" και λύνει ασκήσεις. Η γενική εικόνα του γραπτού, νομίζω ,μαζί με μια ωραία (αλλά ίσως όχι σύννομη με τη στενή έννοια της λέξης) λύση, μας δείχνει το δρόμο .

Νίκος

Νίκο , με τιμά η εκτίμησή σου και την ανταποδίδω !

Ήθελα μόνο να προσθέσω ότι προς τους μαθητές , πρέπει στο προηγούμενο σύνθημα να συμπληρώσουμε και το εξής :

Γράψε τίμια ό,τι έχεις πραγματικά καταλάβει και μην προσπαθείς να ξεγελάσεις το βαθμολογητή !

Το γράφω αυτό διότι κατά καιρούς μερικοί μαθητές που συνήθως η μέση επίδοση είναι 12-14

πετάνε αναπόδεικτα και χωρίς αιτιολογήσεις αυτό που στη συνέχεια οδηγεί στη λύση της άσκησης και εκεί ο διορθωτής μπορεί να αφιερώσει μέχρι μία ώρα, μήπως ο μαθητής λέει κάτι σωστό ή προφανές που εκείνος δεν το βλέπει.
Σε αυτές τις περιπτώσεις ο διορθωτής παίρνει την άποψη και άλλου συναδέλφου και όπως είναι φυσικό αμέσως καταλαβαίνουν ότι ο μαθητής μπλοφάρει και προσπαθεί να παραπλανήσει τον βαθμολογητή, οπότε αυτοί σχηματίζουν αρνητική εικόνα για τον διαγωνιζόμενο.

Αυτός είναι ο μόνος λόγος που ορισμένοι συνάδελφοι αποδέχονται ως ολοκληρωμένες μόνο σαφείς και τίμες λύσεις βασισμένες μόνο σε ευδιάκριτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου και όχι αναπόδεικτες αναφορές σε γενικά συμπεράσματα που συχνά μοιάζουν με πυροτεχνήματα . Φυσικά δεν έχουν άδικο και σωστά διαγράφουν τελείως την απάντηση !

Γίνεται λοιπόν σαφές ότι κάθε διδάσκων, σε οποιοδήποτε χώρο και αν κινείται , πρέπει να καλλιεργεί στα παιδιά την άποψη ότι ο μαθητής οφείλει να επιδεικνύει στο γραπτό του ειλικρινή συμπεριφορά και σεβασμό προς τον καθηγητή που του αξιολογεί το γραπτό του και ο οποίος διέπεται από θετική διάθεση για αυτόν. Η επίκληση σε ανύπαρκτα θεωρήματα ή '' μαγικά κόλπα '' ή σε εκφράσεις του τύπου '' από εδώ προφανώς προκύπτει ότι .... '' για να ....μαζέψει μονάδες, του κάνουν τελικά κακό , διότι οι βαθμολογητές είναι εμπειρότατοι άνθρωποι και αυτά τα καταλαβαίνουν αμέσως.

Μετά από τα παραπάνω , αυτό που μένει ως τελικό συμπέρασμα είναι :

- Οι μαθητές να βασίζονται όσο πιο πολύ μπορούν σε βασικές προτάσεις του βιβλίου τους και μάλιστα σε προτάσεις από την εξεταστέα ύλη.

- Προτάσεις από τον ευρύτερο μαθηματικό χώρο, μέσα ή έξω από την τάξη , πρέπει να είναι συγκεκριμένες, αν είναι δυνατόν να συνοδεύονται από απόδειξη

και να είναι όσο γίνεται πιο περιορισμένες.

Από εκεί και πέρα ο καθηγητής, έχοντας επίγνωση του ρόλου του, θα κάνει σωστά το καθήκον του και σε καμιά περίπτωση δεν θα αδικήσει τον καλό και τον τίμιο υποψήφιο, όποια θεωρήματα και να χρησιμοποιήσει.

Μπ

Σχόλιο σελίδας 254

Σχόλιο σελίδας 254

Re: Σχόλιο σελίδας 254

Re: Σχόλιο σελίδας 254

Re: Σχόλιο σελίδας 254

Re: Σχόλιο σελίδας 254

Re: Σχόλιο σελίδας 254

Re: Σχόλιο σελίδας 254

Re: Σχόλιο σελίδας 254

Re: Σχόλιο σελίδας 254

Re: Σχόλιο σελίδας 254

Re: Σχόλιο σελίδας 254

Re: Σχόλιο σελίδας 254

Re: Σχόλιο σελίδας 254

Re: Σχόλιο σελίδας 254

Re: Σχόλιο σελίδας 254

Re: Σχόλιο σελίδας 254

Re: Σχόλιο σελίδας 254

Re: Σχόλιο σελίδας 254

Re: Σχόλιο σελίδας 254

Μέλη σε σύνδεση