Διαγώνισμα

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Σημερινό διαγώνισμα στις παραγώγους . ( Β μέρος )

Ιστοσελίδα · #2

Eνδιαφέρον 4ο θέμα...
Ήταν 3ωρο το διαγώνισμα?

tsolis · #3

Ενδιαφέρον το 3οκαι 4ο Θέμα...Θα ασχολειθώ κάποια στιγμή.
Στο 3ο Θέμα προσθέτω σχεδόν μία παρόμοια άσκηση.

Έστω η f, συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύουν: $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-x^{3}}{x-1}=-4$ και f''(x)>0

, για κάθε πραγματικό αριθμό.
Αν f(3)=1

, τότε:
α) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f στο Α(1,f(1)).
β) να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός στο διάστημα (1,3), στον οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο.
γ) να δείξετε ότι η εξίσωση $f'(x^{5}-x^{4}+x^{2})=f'(2x-f(1))$ έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (0,1).

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #4

polysot έγραψε:Eνδιαφέρον 4ο θέμα...
Ήταν 3ωρο το διαγώνισμα?

Ναι Σωτήρη , τρίωρο ...

Μάκης Χατζόπουλος · #5

Χρήστο πολύ καλό! Μου αρέσουν τα διαγωνίσματα σου!

gemar99 · #6

Χρήστο, 3ο Θεμα γ) iii), το προσημο του f''(2011), πως δικαιολογείται με το σχολικό βιβλίο;

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #7

Σύμφωνα με το σχόλιο της σελ. 274 ( που ισχύει για κυρτή ) , αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κοίλη θα είναι $\displaystyle{ f''(x) \le 0 }$ ( με το μηδενισμό να μην πραγματοποιείται σε διάστημα ) .
Νομίζω ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί αν ανατρέξουμε στο σχόλιο της σελ. 254 που αφορά την αντίστοιχη περίπτωση της μονοτονίας .

gemar99 · #8

Παραθέτω το σχόλιο της σελίδας 254:
ΣΧΟΛΙΟ
Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει. Δηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ.
Για παράδειγμα, η συνάρτηση , αν και είναι γνησίως αύξουσα στο R, εντούτοις έχει παράγωγο η οποία δεν είναι θετική σε όλο το R, αφού . Ισχύει όμως f'(x)>=0 για κάθε xeR.

Η τελευταία πρόταση αναφέρεται στην f(x)=x^3, όχι για κάθε συνάρτηση f.

Μήπως είναι απαραίτητη η συνέχεια της f'' , ώστε να ισχύει "Αν f κυρτή τότε f''(x)>=0";

Ιστοσελίδα · #9

Καταρχήν νομίζω ότι η παρατήρηση του βιβλίου σελ. 254 δεν αφορά την x^3

συγκεκριμένα, αλλά όλες τις συναρτήσεις.
Εξάλλου έχει γίνει λόγος κάπου και για την άσκηση 6 σελ.257.
Αν η f είναι παραγωγίσιμη και γνήσια αύξουσα στο [α,β] και $x_0 \in [\alpha,\beta]$ , τότε
$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0$ για κάθε $x \in (\alpha, \beta), x\neq x_0$ και f παραγωγίσιμη άρα : $f'(x_0) \geq 0$ .

Διαγώνισμα

Διαγώνισμα

Re: Διαγώνισμα

Re: Διαγώνισμα

Re: Διαγώνισμα

Re: Διαγώνισμα

Re: Διαγώνισμα

Re: Διαγώνισμα

Re: Διαγώνισμα

Re: Διαγώνισμα

Μέλη σε σύνδεση