Παράγωγος και ρυθμός μεταβολής

Tolaso J Kos · #1

Με αφορμή αυτή την άσκηση... ανεβάζω αυτή που δημοσιεύτηκε πριν κάτι χρόνια ( 6 αν δε κάνω λάθος ) στην εφημερίδα Έθνος ...

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο x_0=3

καθώς επίσης και τη συνάρτηση

$\displaystyle{g(x)= \left\{\begin{matrix} f\left ( 27-12x \right ) & , & x<2 \\ f\left ( 11-x^3 \right )& , & x \geq 2 \end{matrix}\right.}$

Να δειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιμη στο .
Αν είναι $f(3)=f'(3)=-\frac{1}{4}$ να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο ${\mathrm B} \left(2 , g(2) \right)$ .
Σημείο $\Sigma (x, y)$ με κινείται επί της προηγούμενης ευθείας και πλησιάζει τον άξονα με ρυθμό $1 \frac{{\mathrm m}}{{\mathrm sec}}$ . Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης $\Sigma {\mathrm O}$ τη χρονική στιγμή κατά την οποία το $\Sigma$ διέρχεται από το σημείο με τεταγμένη μηδέν.

#2

ii) Παίρνοντας τα πλευρικά όρια:
$\displaystyle \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{g(x) - g(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{f(27 - 12x) - f(3)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{f(27 - 12x) - f(3)}}{{(27 - 12x) - 3}}\left( {\frac{{24 - 12x}}{{x - 2}}} \right) = - 12f'(3) \hfill \\ \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{g(x) - g(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{f(11 - {x^3}) - f(3)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{f(11 - {x^3}) - f(3)}}{{(11 - {x^3}) - 3}}\left( {\frac{{8 - {x^3}}}{{x - 2}}} \right) = - 12f'(3) \hfill \\ \end{gathered}$
(Έγιναν οι κατάλληλες αντικαταστάσεις ) . Άρα $\displaystyle {g}'(2)=-12{f}'(3)$
ιι) Η εξίσωση της εφαπτομένης
$\displaystyle \begin{gathered} y - g(2) = g'(2)(x - 2) \Leftrightarrow y - f(3) = - 12f'(3)(x - 3) \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow y + \frac{1}{4} = - 12\left( { - \frac{1}{4}} \right)(x - 3) \Leftrightarrow y = 3x + \frac{{35}}{4} \hfill \\ \end{gathered}$
iii) Έστω $\displaystyle \Sigma (x(t),y(t))$ . Τότε : $\displaystyle y(t)=3x(t)+\frac{35}{4}\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{y}'(t)=3{x}'(t)$
Είναι : $\displaystyle {y}'(t)=-1m/s\,\,\Rightarrow {x}'(t)=-\frac{1}{3}m/s,\,\,\,\,\,y({{t}_{0}})=0,x({{t}_{0}})=-\frac{35}{12}$
Έστω $\displaystyle {\mathrm O}\Sigma =a(t)\Rightarrow a({{t}_{0}})=\sqrt{{{y}^{2}}({{t}_{0}}))+{{x}^{2}}({{t}_{0}})}=\frac{35}{12}$
Με πυθαγόρειο θεώρημα :
$\displaystyle \begin{gathered} {a^2}(t) = {y^2}(t)) + {x^2}(t) \Rightarrow 2a(t)a'(t) = 2y(t)y'(t) + 2x(t)x'(t) \Rightarrow \hfill \\ \Rightarrow a'({t_0}) = \frac{{0 \cdot ( - 1) + \left( { - \frac{{35}}{{12}}} \right)\left( { - \frac{1}{3}} \right)}}{{\frac{{35}}{{12}}}} = \frac{1}{3}m/s \hfill \\ \end{gathered}$

Παράγωγος και ρυθμός μεταβολής

Παράγωγος και ρυθμός μεταβολής

Re: Παράγωγος και ρυθμός μεταβολής

Μέλη σε σύνδεση