Πότε θα λιώσει η καραμέλα;

#1

Μου την έστειλαν και νομίζω ότι είναι ενδιαφέρουσα!!!

Μια καραμέλα έχει σφαιρικό σχήμα. Όταν κάποιος την τοποθετήσει στο στόμα του λιώνει μεταβάλλοντας τον όγκο της, ώστε ο ρυθμός μεταβολής του όγκου να είναι αριθμητικά ανάλογος με την επιφάνειά της. Αν τα πρώτα 4 λεπτά μειώνει τον όγκο της κατά $87,5\%,$ σε πόσα λεπτά λιώνει η καραμέλα;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Καλησπέρα σε όλους. Μια απόπειρα στο θέμα του Λευτέρη, με την υπόδειξη στην απόκρυψη.

Έστω r_0

η αρχική ακτίνα της καραμέλας. Τότε ο όγκος της είναι $\displaystyle {V_0} = \frac{4}{3}\pi r_0^3$ .

Δεχόμαστε ότι λιώνει ομοιόμορφα, διατηρώντας το σφαιρικό σχήμα, οπότε η ακτίνα της μειώνεται με σταθερό ρυθμό $\displaystyle r'\left( t \right) = - c,\;\;c > 0$ , σταθερό, οπότε $\displaystyle r\left( t \right) = {r_0} - ct,\;t \ge 0$ .

Σε χρονική στιγμή

ο όγκος της δίνεται από τον τύπο $\displaystyle V\left( t \right) = \frac{4}{3}\pi {r^3}\left( t \right),\;t \ge 0$ .

Εδώ πρέπει να σημειώνουμε oι συναρτήσεις r(t), V(t)

ορίζονται σε ένα κλειστό διάστημα [0, t_1]

, δηλαδή ότι ο χρόνος

έχει μια μέγιστη τιμή, τη στιγμή που λιώνει η καραμέλα, τον οποίον αναζητούμε.

Είναι $\displaystyle V\left( 4 \right) = \frac{1}{8}{V_0} \Leftrightarrow \frac{4}{3}\pi {\left( {r\left( 4 \right)} \right)^3} = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3}\pi r_0^3 \Leftrightarrow {\left( {{r_0} - 4c} \right)^3} = \frac{1}{8} \cdot r_0^3$

$\displaystyle \Leftrightarrow {r_0} - 4c = \frac{1}{2} \cdot {r_0} \Leftrightarrow c = \frac{{{r_0}}}{8}$ .

Λιώνει σε χρόνο t_1

για τον οποίο είναι $\displaystyle r\left( t_1 \right) = 0 \Leftrightarrow {r_0} = ct_1 \Leftrightarrow {r_0} = \frac{{{r_0}}}{8}t_1 \Leftrightarrow t_1=8\;\min$

edit: Mια συμπλήρωση σχετικά με την υπόδειξη του Λευτέρη:

Είναι $\displaystyle V'\left( t \right) = 4\pi {r^2}\left( t \right) \cdot r'\left( t \right)$ , οπότε αν ο ρυθμός μεταβολής του όγκου είναι αριθμητικά ανάλογος με την επιφάνειά της, δηλαδή υπάρχει θετική σταθερά

ώστε $\displaystyle V'\left( t \right) = - c \cdot E\left( t \right)$ , θα έχουμε $\displaystyle 4\pi {r^2}\left( t \right) \cdot r'\left( t \right) = - 4c\pi {r^2}\left( t \right) \Leftrightarrow r'\left( t \right) = - c$ , άρα αναγόμαστε στη διευκρίνιση του Λευτέρη, ότι η ακτίνα της μειώνεται με σταθερό ρυθμό.

Πότε θα λιώσει η καραμέλα;

Πότε θα λιώσει η καραμέλα;

Re: Πότε θα λιώσει η καραμέλα;

Μέλη σε σύνδεση