Σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτησης

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{(x+2)ln(x+1)}{x} & , -1<x\neq0 \\ \\ k& ,x=0 \end{matrix}\right.$

$\bigstar$ Βρείτε το σύνολο τιμών της , αν είναι γνωστό ότι είναι συνεχής .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2019 8:37 am
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{(x+2)ln(x+1)}{x} & , -1<x\neq0 \\ \\ k& ,x=0 \end{matrix}\right.$

$\bigstar$ Βρείτε το σύνολο τιμών της , αν είναι γνωστό ότι είναι συνεχής .

...Χρόνια Πολλά

...

Επειδή είναι συνεχής, θα είναι συνεχής και στο x=0

άρα $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)=k$ ή

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+2)ln(x+1)}{x}=k$ απ όπου προκύπτει ότι 2=k

γιατί

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{ln(x+1)}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{ln(x+1)}{(x+1)-1}=1$ αφού

$(\ln (x){)}'=\frac{1}{x},\,\,x>0$

Τώρα είναι παραγωγίσιμη στο $(-1,\,0)\cup (0,\,\,+\infty )$ με ${f}'(x)=...=\frac{\frac{{{x}^{2}}+2x}{x+1}-2ln(x+1)}{{{x}^{2}}}$

και για τον αριθμητή θεωρούμε την $g(x)=\frac{{{x}^{2}}+2x}{x+1}-2ln(x+1),\,\,x\in (-1\,\,+\infty )$ που είναι παραγωγίσιμη με

${g}'(x)=...=\frac{{{x}^{2}}}{{{(x+1)}^{2}}}>0,\,\,\,x\ne 0$ που σημαίνει ότι δεν παρουσιάζει ακρότατο στο x=0

και

είναι γνήσια αύξουσα στο $(-1,\,+\infty )$ άρα

όταν $x<0\Rightarrow g(x)<g(0)=0$ και η ${f}'(x)=\frac{g(x)}{{{x}^{2}}}<0$ δηλαδή η

γνήσια φθίνουσα στο $(-1,\,0]$ και όταν

$x>0\Rightarrow g(x)>g(0)=0$ και η ${f}'(x)=\frac{g(x)}{{{x}^{2}}}>0$ δηλαδή η

γνήσια αύξουσα στο $[0,\,\,+\infty )$

επομένως η

έχει ελάχιστο το f(0)=2

Ακόμη επειδή $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+2)ln(x+1)}{x}=+\infty$ αφού

$\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+2)}{x}=-1$ και $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,ln(x+1)=-\infty$

το σύνολο τιμών της

είναι το $[2,\,\,+\infty )$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτησης

Σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτησης

Re: Σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση