Επαναληπτικό με υπαρξιακά θεωρήματα

Stelios V8 · #1

Έστω συνάρτηση

2 φορές παραγωγίσιμη στο $\left [ 0,1 \right ]$ με $f\left ( 0 \right )= 0 , f\left ( 1 \right )= 3 , f'\left ( 0 \right )=f'\left ( 1 \right )=0$ .
(A) Να δειχθεί ότι υπάρχει $x_{1}\in \left ( 0,1 \right ):f'\left ( x_{1} \right )>3$ .
(B) Να δειχθεί ότι υπάρχει $x_{2}\in \left ( 0,1 \right ):\left | f''\left ( x_{2} \right ) \right |\geq 6$ .
Αν επιπλέον η εξίσωση $f''\left ( x \right )=0$ , έχει το πολύ μία ρίζα στο $\left [ 0,1 \right ]$ , τότε
(Γ) Να μελετήσετε την

ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα .
(Δ) Να υπολογίσετε το όριο $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{sin\left ( \pi x \right )}{f\left ( x \right )-3}$ .
(E) Να δείξετε ότι η εξίσωση $f\left ( x \right )= 3x$ έχει ακριβώς μία λύση στο $\left ( 0,1 \right )$ .

Άλλαξα το (Ε) ερώτημα γιατί μου ξέφυγε στην πληκτρολόγηση το

.

panagiotis iliopoulos · #2

Έχω την εντύπωση ότι το πρώτο ερώτημα θέλει ανισοισότητα και όχι γνήσια ανισότητα.

Stelios V8 · #3

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 03, 2020 7:13 am
Έχω την εντύπωση ότι το πρώτο ερώτημα θέλει ανισοισότητα και όχι γνήσια ανισότητα.

Είναι μια χαρά το πρώτο ερώτημα. Το ίσον είναι απλά ένα ΘΜΤ στο $\left [ 0,1 \right ]$ δε λέει και πολλά , εγώ ζητάω κάτι παραπάνω , βγαίνει .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 03, 2020 7:13 am
Έχω την εντύπωση ότι το πρώτο ερώτημα θέλει ανισοισότητα και όχι γνήσια ανισότητα.

Οχι είναι σωστό και έτσι.
Και στο Β) θα μπορούσαμε να έχουμε γνήσια ανισότητα.
Το βλέπουμε εύκολα αν γράψουμε

$\displaystyle \int_{0}^{1}f'(x)dx=3$ .

Πιο δύσκολα το βλέπουμε και ως εξής.

Επειδή η

είναι συνεχής και f'(0)=0

θα είναι

για

κοντά στο

.

Δηλαδή θα υπάρχει 1>a>0

ώστε να είναι f'(x)<1

για

Από ΘΜΤ θα έχουμε $\displaystyle f(a)-f(0)=af'(c)<a$ .

Από ΘΜΤ στο [a,1]

θα υπάρχει

ωστε

$\displaystyle f'(d)=\frac{f(1)-f(a)}{1-a}> \frac{3-a}{1-a}> 3$

panagiotis iliopoulos · #5

Μια άλλη προσέγγιση είναι η εξής. Από Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση έχουμε ότι υπάρχει $x_{0}\epsilon(0,1)$ ώστε $f'(x_{0})=3$ .

Από Θ.Μ.Ε.Τ. για την παράγωγο στο [0,1]]

προκύπτει ότι η παράγωγος της συνάρτησης δεν παρουσιάζει μέγιστο ούτε στο μηδέν ούτε στο

ένα, άρα θα υπάρχει $x_{1}\epsilon (0,1)$ ώστε $f'(x)\leq f'(x_{1}) , x\epsilon [0,1]$ . Η τελευταία σχέση για

το $x_{0}$

προκύπτει ότι $f'(x_{1})\geq 3$ .

miltosk · #6

Stelios V8 έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 02, 2020 10:29 pm
Έστω συνάρτηση 2 φορές παραγωγίσιμη στο $\left [ 0,1 \right ]$ με $f\left ( 0 \right )= 0 , f\left ( 1 \right )= 3 , f'\left ( 0 \right )=f'\left ( 1 \right )=0$ .
(A) Να δειχθεί ότι υπάρχει $x_{1}\in \left ( 0,1 \right ):f'\left ( x_{1} \right )>3$ .
(B) Να δειχθεί ότι υπάρχει $x_{2}\in \left ( 0,1 \right ):\left | f''\left ( x_{2} \right ) \right |\geq 6$ .
Αν επιπλέον η εξίσωση $f''\left ( x \right )=0$ , έχει το πολύ μία ρίζα στο $\left [ 0,1 \right ]$ , τότε
(Γ) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα .
(Δ) Να υπολογίσετε το όριο $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{sin\left ( \pi x \right )}{f\left ( x \right )-3}$ .
(E) Να δείξετε ότι η εξίσωση $f\left ( x \right )= 3$ έχει ακριβώς μία λύση στο $\left ( 0,1 \right )$ .

Όχι πολύ αναλυτικά λόγω έλλειψης χρόνου και κούρασης:
(A) Υποθέτω ότι για κάθε $x\in [0,1]$ , ισχύει $f'(x)\leq 3$ .
Έστω $g(x)=f(x)-3x, x\in [0,1]$ g παραγωγίσιμη και συνεχής στο [0,1]

.
Τότε $g'(x)\leq 0$ .
Αν g'(x)=0

τότε

, άτοπο αφού τότε f'(x)=3

.
Άρα $g'(x)\leq 0$ χωρίς να ισχύει παντού η ισότητα.
Έτσι, g (edit 12/5/2020, δεν ήταν απόλυτα σωστό) φθίνουσα λόγω συνέχειας στο [0,1]

.
Όμως

, (edit και σε αυτό το σημείο 12/5/2020) άτοπο καθώς έτσι g σταθερή και έχει παράγωγο ίση με 0,που δεν ισχύει.
Τελικά, δεν ισχύει η αρχική υπόθεση και άρα $\exists x_1\in[0,1]: f'(x_1)>3$ .
Μιας και f'(1)=f'(0)=0<3

παίρνω το ζητούμενο.
(Β) 2 ΘΜΤ για την f' στα [0,x_1],[x_1,1]

(πληρούνται οι προϋποθέσεις) δίνουν:
$\exists t_1\in(0,x_1): f''(t_1)=\frac{f(x_1)-f(0)}{x_1-0} \Rightarrow f''(t_1)=\frac{f(x_1)}{x_1}$ ,(1)
$\exists t_2\in(x_1,1): f''(t_2)=\frac{f(x_1)-f(1)}{x_1-1} \Rightarrow f''(t_1)=\frac{f(x_1)}{x_1-1}$ ,(2)
Αν $x_1\in (0,0.5]$ η (1) σε συνδυασμό με το (Α) μου δίνουν το ζητούμενο.
Αν $x_1\in (0.5,1]\Rightarrow \mid x_1-1\mid \leq 0.5$ και η (2) παιρνώντας απόλυτες τιμές σε συνδυασμό με το (Α) μου δίνουν το ζητούμενο.
Τελικά, $\exists x_2\in (0,1): \mid f''(x_2) \mid \geq 6$ .
(Γ)Έστω $\exists t \in (0,1): f'(t)=0$ , τότε με 2 Rolle για την f' στα [0,t],[t,1]

δίνουν ότι η f'' έχει 2 ρίζες άτοπο.
Άρα η f' δεν μηδενίζεται στο (0,1)

και ως συνεχής λόγω παραγωγισιμότητας διατηρεί σταθερό πρόσημο σε αυτό το διάστημα.
Από το (Α) παίρνω $f'(x)>0, x\in (0,1)$ και τελικά $f'(x)\geq 0, x\in [0,1]$ , δηλαδή f γν. αύξουσα και έχει μέγιστο και ελάχιστο στα άκρα.
(Δ)Δεν προλαβαίνω τώρα (ταλαιπωρία στο γράψιμο των ορίων).
(Ε)Έστω $\exists q \in (0,1): f(q)=3$ ,
Ξανά με Rolle στ0 [q,1]

λαμβάνω ότι $\exists q_1 \in (0,1): f'(q_1)=0$ .
Πάλι με 2 Rolle στα [0,q_1],[q_1,1]

καταλήγω στο ότι η f'' έχει 2 ρίζες άτοπο.
Άρα δεν υπάρχει τέτοιο

και η

έχει μοναδική ρίζα το 1.

Επαναληπτικό με υπαρξιακά θεωρήματα

Επαναληπτικό με υπαρξιακά θεωρήματα

Re: Επαναληπτικό με υπαρξιακά θεωρήματα

Re: Επαναληπτικό με υπαρξιακά θεωρήματα

Re: Επαναληπτικό με υπαρξιακά θεωρήματα

Re: Επαναληπτικό με υπαρξιακά θεωρήματα

Re: Επαναληπτικό με υπαρξιακά θεωρήματα

Μέλη σε σύνδεση