Ανίσωση

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η συνάρτηση

$\displaystyle{f(x) = \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{8-x} \quad , \quad x \in [0, 8]}$
Να λυθεί η ανίσωση f(x+2) > f(x-2)

.

#2

Μια άποψη ( με κάποιες επιφυλάξεις)

: Tolis_1.png (27.93 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές

Η συνάρτηση $f(x) = \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{8 - x}}\,\,\,\mu \varepsilon \,\,x \in \left[ {0,8} \right]$ είναι συνεχής , παραγωγίσιμη στο

$\left( {0,8} \right)$ , γνήσια αύξουσα στο $\left[ {0,4} \right]\,\,$ και γνήσια φθίνουσα στο $\left[ {4,8} \right]$ .

Οι συναρτήσεις $g(x) = f(x + 2)\,\,\,\mu \varepsilon \,\,x \in \left[ { - 2,6} \right]\,\,\kappa \alpha \iota \,\,h(x) = f(x - 2)\,\,\,\mu \varepsilon \,\,x \in \left[ {2,10} \right]$

Έχουν μετατοπιστεί οριζόντια κατά $- 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,2$ ως προς την

οπότε προφανώς :

$f(x + 2) > f(x - 2) \Rightarrow x \in [2,4)$

BAGGP93 · #3

Γεια χαρά. Άλλη μια ιδέα. Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\left(0,8\right)$ με παράγωγο $f^\prime(x)=\dfrac{1}{3}\,\left(x^{-2/3}-(8-x)^{-2/3}\right)$

και με τη σειρά της η $f^\prime#$ παραγωγίζεται με $f^{\prime \prime}(x)=-\dfrac{2}{9}\,\left(x^{-5/3}+(8-x)^{-5/3}\right)<0\,,0<x<8$ . Κατά συνέπεια,

η $f^{\prime}$ είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση. Θεωρούμε λοιπόν την $g(x)=f(x+2)-f(x-2)\,,x\in\left[2,6\right]$ και παρατηρούμε ότι

$g^\prime(x)=f^\prime(x+2)-f^{\prime}(x-2)<0\,,2<x<6$ (αφού $x+2>x-2\implies f^{\prime}(x+2)<f^{\prime}(x-2)$ ). Έτσι, η

είναι γνησίως φθίνουσα

στο $\left[2,6\right]$ με μοναδική ρίζα x=4

. Άρα, για $x\in\left[2,6\right]$ έχουμε

$f(x+2)>f(x-2)\iff f(x+2)-f(x-2)>0\iff g(x)>g(4)\iff x\in\left[2,4\right)$ .

Ανίσωση

Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση