Εκθετικό-πολυωνυμική

Al.Koutsouridis · #1

Για την συνάρτηση $f(x)=kx^2e^{-x}$ ( k>0

) και τον πραγματικό

ας είναι

η ελάχιστη εκ των αποστάσεων του σημείου $\left ( t, f(t)\right)$ της καμπύλης y=f(x)

από του άξονες

και

. Ποιά είναι η μέγιστη τιμή του

ώστε, η

να μην είναι παραγωγίσιμη σε ακριβώς ένα σημείο;

Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Κορέας 2013, θέμα 21/30.

Μάρκος Βασίλης · #2

Θα ξεκινήσουμε μελετώντας την εξίσωση f(x)=|x|

.

1. Έχουμε μία προφανή ρίζα, το x_0=0

για κάθε

.

2. Για x<0

έχουμε

$\displaystyle{f(x)=|x|\iff f(x)=-x\iff\underbrace{kxe^{-x}+1}_{h(x)}=0}$

η οποία έχει ακριβώς μία ρίζα για κάθε k>0

, δεδομένου ότι η h(x)

είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,0)$ - αφού $h'(x)=k(1-x)e^{-x}>0$ - και ότι

$\displaystyle{\lim\limits_{x\to0^-}h(x)=1>0>\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=-\infty.}$

3. Για x>0

έχουμε:

$\displaystyle{f(x)=|x|\iff kx^2e^{-x}=x\iff kxe^{-x}-1=0\iff xe^{-x}=\frac{1}{k}.}$

Για τη συνάρτηση $s(x)=xe^{-x}$ , x>0

εύκολα βρίσκουμε ότι παρουσιάζει μοναδικό ολικό μέγιστο στο x_0=1

το $f(1)=e^{-1}$ ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο $(0,e^{-1})$ και γνησίως φθίνουσα στο $(e^{-1},+\infty)$ . Συνεπώς, αν 0<k<e

η εξίσωση είναι αδύνατη, αν k=e

έχει ακριβώς μία ρίζα, x=1

, ενώ αν

η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες εκατέρωθεν του

.

Θα συσχετίσουμε τώρα τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης με τα σημεία στα οποία η

δεν είναι παραγωγίσιμη. Αρχικά, να παρατηρήσουμε ότι στα διαστήματα μεταξύ των ριζών της εξίσωσης (1)

η

είναι παραγωγίσιμη αφού προκύπτει από πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων - διαισθητικά, μετράμε την απόσταση από τον ίδιο άξονα μέχρι να συναντήσουμε ρίζα της (1)

. Επομένως, πρέπει να εξετάσουμε την

ως προς την παραγωγισιμότητα στις ρίζες της (1)

. Αρχικά, δεδομένου ότι f(x)<|x|

για

αρκετά κοντά στο

- το πόσο κοντά, σαφώς εξαρτάται από το

, η

είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα που περιέχει το

- αφού μετράμε την απόσταση από τον άξονα x'x

.

Αντιθέτως, αν $\rho\neq0$ είναι μία άλλη ρίζα της (1)

και αν η παράσταση f(x)-|x|

αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του $\rho$ η g(x)

θα έχει τη μορφή

$\displaystyle{g(x)=\left\{\begin{array}{ll}|x| & x\in A\\f(x) & x\in B\\|\rho|=f(\rho) & x=\rho \end{array}\right.,}$

όπου τα $A,B\in\{a,\rho),(\rho,b)\}$ με $A\neq B$ για κάποια $a,b\in\mathbb{R}$ . Παρατηρούμε τώρα ότι η

είναι παραγωγίσιμη στα A,B

ωστόσο:

$\displaystyle{\lim_{\substack{x\to\rho\\x\in A}}\frac{g(x)-g(\rho)}{x-\rho}=1,\quad\lim_{\substack{x\to\rho\\x\in B}}\frac{g(x)-g(\rho)}{x-\rho}=f'(\rho)=2k\rho e^{-\rho}-k\rho^2e^{-\rho}\right)=2k\rho e^{-\rho}}$

Τώρα, αν $\rho<0$ τότε $2k\rho e^{-\rho}<0<1$ άρα η

δεν είναι παραγωγίσιμη στην μοναδική αρνητική ρίζα της (1)

ενώ αν $\rho>0$ παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle{2k\rho e^{-\rho}=1\iff k\rho^2e^{-\rho}=\frac{\rho}{2}\iff0=\rho>0,}$

συνεπώς η

δεν είναι παραγωγίσιμη σε καμία μη μηδενική ρίζα της (1)

όπου η

δε διατηρεί πρόσημο εκατέρωθέν της.

Αν, τέλος, η f(x)-|x|

διατηρεί πρόσημο εκατέρωθεν της $\rho\neq0$ , αν δηλαδή $\rho=1$ και k=e

τότε η

είναι παραγωγίσιμη στο $\rho$ - προφανές, ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων.

Συνεπώς, η μέγιστη τιμή του

έτσι ώστε να έχουμε το ζητούμενο είναι k=e

.

Ελπίζω να ήταν κάποια ερώτηση πολλαπλής επιλογής, γιατί, ενώ είναι διαισθητικά σχεδόν προφανής η λύση, έχει πολύ γράψιμο. :Ρ

Al.Koutsouridis · #3

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 24, 2020 3:42 pm
Ελπίζω να ήταν κάποια ερώτηση πολλαπλής επιλογής, γιατί, ενώ είναι διαισθητικά σχεδόν προφανής η λύση, έχει πολύ γράψιμο. :Ρ

Ναι, ήταν πολλαπλής επιλογής μεταξύ πέντε επιλογών. Προς όφελος των μαθητών όμως καλύτερα να λύνονται αναλυτικά οι ασκήσεις, όπως πολύ όμορφα κάνατε.

Μάρκος Βασίλης · #4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 24, 2020 4:57 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 24, 2020 3:42 pm
Ελπίζω να ήταν κάποια ερώτηση πολλαπλής επιλογής, γιατί, ενώ είναι διαισθητικά σχεδόν προφανής η λύση, έχει πολύ γράψιμο. :Ρ
Ναι, ήταν πολλαπλής επιλογής μεταξύ πέντε επιλογών. Προς όφελος των μαθητών όμως καλύτερα να λύνονται αναλυτικά οι ασκήσεις, όπως πολύ όμορφα κάνατε.

Ευχαριστώ για τα καλά λόγια!

Ευτυχώς για τα παιδιά στις εξετάσεις που δεν ήταν με αιτιολόγηση!

Η αλήθεια είναι ότι για πρόβλημα στην τάξη θα ήταν ενδιαφέρον, μιας και έχει αρκετή διερεύνηση και διαίσθηση.

Εκθετικό-πολυωνυμική

Εκθετικό-πολυωνυμική

Re: Εκθετικό-πολυωνυμική

Re: Εκθετικό-πολυωνυμική

Re: Εκθετικό-πολυωνυμική

Μέλη σε σύνδεση