Συμπεράσματα...στις συνέπειες ΘΜΤ

venpan · #1

Αν

για κάθε $x \in R$ , τότε υπάρχει $c \in R$ τέτοιο ώστε f(x)=e^x+c

για κάθε $x \in R$

Σωστό ή λάθος;

Πηγή: study4exams

Tolaso J Kos · #2

venpan έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 03, 2021 10:44 am
Αν για κάθε $x \in R$ , τότε υπάρχει $c \in R$ τέτοιο ώστε για κάθε $x \in R$

Σωστό ή λάθος;

Πηγή: study4exams

Λάθος ...

#3

venpan έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 03, 2021 10:44 am
Αν για κάθε $x \in R$ , τότε υπάρχει $c \in R$ τέτοιο ώστε για κάθε $x \in R$

Σωστό ή λάθος;

Πηγή: study4exams

Είναι σαφές ότι είναι λάθος αφού και η 2e^x

ικανοποιεί την αρχική. Το μόνο που χρειάζεται είναι να βεβαιωθούμε (το αυτονόητο) ότι δεν υπάρχει

τέτοιο ώστε για κάθε

να ισχύει

, ή αλλιώς e^x=c

.

Αυτό ζητάς;

venpan · #4

Το Σ Λ είναι από το study4exams. Την ανέβασα για να συζητηθεί, επειδή κάποιοι συνάδερφοι την θεωρούν σωστή με το επιχείρημα ότι το συμπέρασμα δεν είναι ότι λύση της δ.ε. είναι η f(x)=e^x+c

αλλά ότι υπάρχει c ώστε αυτή να είναι λύση της διαφορικής. Την ανέβασα γιατί δημιουργεί σε κάποιους λογικά σφάλματα η διατύπωση και πρέπει να το ξεκαθαρίσουν

#5

venpan έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 03, 2021 11:33 am
την θεωρούν σωστή με το επιχείρημα ότι το συμπέρασμα δεν είναι ότι λύση της δ.ε. είναι η αλλά ότι υπάρχει ώστε αυτή να είναι λύση της διαφορικής.

Μου κάνει εντύπωση που υπάρχουν συνάδελφοι οι οποίοι δεν έχουν ξεκαθαρίσει το ευθύ από το αντίστροφο των προτάσεων. Η εν δυνάμει ζημιά που μπορεί να κάνουν στους μαθητές τους είναι σοβαρή.

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή και ζητώ συγγνώμη που πλατειάζω.

Η άσκηση ζητά να εξετάσουμε αν ισχύει η συνεπαγωγή

(f '(x)=f(x)

για κάθε $x \in R$ ) $\Rightarrow$ ( υπάρχει $c \in R$ τέτοιο ώστε f(x)=e^x+c

για κάθε $x \in R$ )

ενώ οι συνάδελφοι ισχυρίζονται ότι η άσκηση ζητά να εξεταστεί αν ισχύει η συνεπαγωγή.

(υπάρχει $c \in R$ τέτοιο ώστε f(x)=e^x+c

για κάθε $x \in R$ ) $\Rightarrow$ ( f '(x)=f(x)

για κάθε $x \in R$ )
(με λόγια: υπάρχει

ώστε η

είναι λύση της διαφορικής).

Έτερον, εκάτερον. Η τελευταία ισχύει μεν, αλλά δεν είναι η ερώτηση της άσκησης. Είναι άλλο ερώτημα.

Το σωστό ερώτημα είναι "μου δίνουν μια

που ικανοποιεί στην συνθήκη, εδώ f'=f

, και θέλω να εξακριβώσω αν υπάρχει

ως άνω. Απάντηση σε αυτό το ερώτημα (όχι στο άλλο που κατασκευάσαμε εμείς επειδή δεν κατανοήσαμε την ερώτηση) είναι όχι, π.χ. η f=2e^x

ικανοποιεί την συνθήκη πλην όμως δεν ικανοποιεί το συμπέρασμα.

Al.Koutsouridis · #6

Λάθος. Καθώς και η σταθερή μηδενική συνάρτηση αποτελεί αντιπαράδειγμα.

venpan · #7

Να αναφέρω ακόμη ένα παράδειγμα παρότι δεν είναι Γ' Λυκείου αλλά έχει προκαλέσει και ακόμη προκαλεί συζήτηση.

Αν $a^2 \neq a$ τότε $a \neq 1$ Σ Λ

Έχω ακούσει την εκδοχή Σωστό αφού όταν το τετράγωνο ενός αριθμού διαφέρει από τον αριθμό τότε ο αριθμός δεν είναι 1

αλλά και την εκδοχή Λάθος αφού στο συμπέρασμα υπάρχει η μισή αλήθεια

Christos.N · #8

venpan έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 03, 2021 12:32 pm
Να αναφέρω ακόμη ένα παράδειγμα παρότι δεν είναι Γ' Λυκείου αλλά έχει προκαλέσει και ακόμη προκαλεί συζήτηση.

Αν $a^2 \neq a$ τότε $a \neq 1$ Σ Λ

Έχω ακούσει την εκδοχή Σωστό αφού όταν το τετράγωνο ενός αριθμού διαφέρει από τον αριθμό τότε ο αριθμός δεν είναι 1

αλλά και την εκδοχή Λάθος αφού στο συμπέρασμα υπάρχει η μισή αλήθεια

Ισχύει η υπόθεση μας $a^2 \neq a$ ας αρνηθούμε το συμπέρασμα

Έστω a = 1

τότε

, άτοπο.

Άρα $a\neq1$ .

Ποιά είναι η μισή αλήθεια;

Π.χ. Αν δεν βρέχει τότε δεν χρειάζομαι αδιάβροχη ομπρέλα. Αληθής πρόταση

Για να ισχύει μια συνεπαγωγή δεν χρειάζεται να μπούμε στην διαδικασία να ζητήσουμε απο το συμπέρασμα να αναφέρει (ότι δεν χρειάζομαι γαλότσες, δεν χρειάζομαι αδιάβροχο μπουφάν, δεν χρειάζομαι ομπρέλα ,δεν χρειάζομαι ...κ..τ.λ.) οτιδήποτε σχετικό παράγεται απο την υπόθεση μας.

ILIOPOULOS PANAGIOTIS · #9

Σωστή είναι η πρόταση. Υπάρχει σταθερά c, και μάλιστα η μηδενική, ώστε ο τύπος της συνάρτησης να είναι: $f(x)=e^{x}+c=e^{x}$ .

#10

ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 03, 2021 1:57 pm
Σωστή είναι η πρόταση. Υπάρχει σταθερά c, και μάλιστα η μηδενική, ώστε ο τύπος της συνάρτησης να είναι: $f(x)=e^{x}+c=e^{x}$ .

Ξαναδές τα αντιπαραδείγματα στα ποστ #3 και #6, και μετά δες το σχόλιο στο ποστ #5.

KARKAR · #11

Μια ακόμη συνάρτηση - αντιπαράδειγμα : $(e^{x+1})'=e^{x+1}$ ,

αλλά δεν υπάρχει σταθερά

, ώστε : $e^{x+1}=e^x+c$

#12

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 03, 2021 2:48 pm
Μια ακόμη συνάρτηση - αντιπαράδειγμα : $(e^{x+1})'=e^{x+1}$ ,

αλλά δεν υπάρχει σταθερά , ώστε : $e^{x+1}=e^x+c$

Σωστά. Υπόψη ότι όλες οι συναρτήσεις της μορφής ae^x

με $a\ne 1$ είναι αντιπαραδείγματα (παραπάνω πήρα a=2

χάριν ευκολίας) και η $e^{x+1}=ee^x$ είναι μία από αυτές.

Συμπεράσματα...στις συνέπειες ΘΜΤ

Συμπεράσματα...στις συνέπειες ΘΜΤ

Re: Συμπεράσματα...στις συνέπειες ΘΜΤ

Re: Συμπεράσματα...στις συνέπειες ΘΜΤ

Re: Συμπεράσματα...στις συνέπειες ΘΜΤ

Re: Συμπεράσματα...στις συνέπειες ΘΜΤ

Re: Συμπεράσματα...στις συνέπειες ΘΜΤ

Re: Συμπεράσματα...στις συνέπειες ΘΜΤ

Re: Συμπεράσματα...στις συνέπειες ΘΜΤ

Re: Συμπεράσματα...στις συνέπειες ΘΜΤ

Re: Συμπεράσματα...στις συνέπειες ΘΜΤ

Re: Συμπεράσματα...στις συνέπειες ΘΜΤ

Re: Συμπεράσματα...στις συνέπειες ΘΜΤ

Μέλη σε σύνδεση