Μονοτονία και όριο

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \frac{e^{\lambda x}}{x^2+\lambda^2}$ όπου $\lambda \in \mathbb{R}^*$ .

Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η .
Αν $\alpha, \beta$ οι ρίζες της τότε να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \left ( \frac{1 + \alpha \beta}{1-\alpha \beta} \right )^{\left ( \frac{\alpha + \beta}{2} \right )^2}}$

Σταμ. Γλάρος · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 26, 2021 11:39 am
Δίδεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \frac{e^{\lambda x}}{x^2+\lambda^2}$ όπου $\lambda \in \mathbb{R}^*$ .

Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η .

Αν $\alpha, \beta$ οι ρίζες της τότε να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \left ( \frac{1 + \alpha \beta}{1-\alpha \beta} \right )^{\left ( \frac{\alpha + \beta}{2} \right )^2}}$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια μετά από πολύ καιρό ...
i) H

έχει πεδίο ορισμού το

και είναι παραγωγίσιμη με $f'(x)=\dfrac{e^{\lambda x}\left ( \lambda x^2-2x+\lambda ^3 \right )}{\left (x^2+\lambda ^2 \right )^2}$ .
Το τριώνυμο στον αριθμητή έχει διακρίνουσα $\Delta =4(1-\lambda ^4)$ . Διακρίνουμε περιπτώσεις :

α) $\lambda \in (-1,0)$ . Το τριώνυμο έχει $\lambda <0$ και $\Delta>0$ οπότε έχει δύο ρίζες τις:
$\alpha =\dfrac{1-\sqrt{1-\lambda ^4}}{\lambda }$ και $\beta =\dfrac{1+\sqrt{1-\lambda ^4}}{\lambda }$ .
Άρα και $f'(\alpha )=f'(\beta )=0$ , οπότε και το πρόσημο του τριωνύμου είναι ίδιο με το πρόσημο της διακρίνουσας.
Συνεπώς έχουμε : f'(x)<0

άρα και

:γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty ,\beta ]$
f'(x)>0

άρα και

:γνησίως αύξουσα στο $[\beta,\alpha ]$

άρα και

:γνησίως φθίνουσα στο $[\alpha, +\infty )$

β) $\lambda \in (0,1)$ . Το τριώνυμο έχει $\lambda >0$ και $\Delta>0$ . Τώρα έχουμε :
f'(x)>0

άρα και

:γνησίως αύξουσα στο $(-\infty ,\alpha ]$
f'(x)<0

άρα και

:γνησίως φθίνουσα στο $[\alpha , \beta ]$
f'(x)>0

άρα και

:γνησίως αύξουσα στο $[\beta, +\infty )$

γ) $\lambda =-1$ . Είναι $f'(x)=\dfrac{e^{-x}\left ( x+1 \right )^2}{(x^2+1)^2} <0,\forall x\neq -1$ και επειδή η

: συνεχής είναι γνησίως φθίνουσα στο

.

δ) $\lambda =1$ . Είναι $f'(x)=\dfrac{e^{x}\left ( x-1 \right )^2}{(x^2+1)^2} >0,\forall x\neq 1$ και επειδή η

: συνεχής είναι γνησίως αύξουσα στο

.

ε) $\lambda \in (-\infty,-1)$ . Το τριώνυμο έχει $\lambda <0$ και $\Delta<0$ οπότε f'(x)<0

άρα και

:γνησίως φθίνουσα στο

.

στ) $\lambda \in (1,+\infty)$ . Το τριώνυμο έχει $\lambda >0$ και $\Delta<0$ οπότε f'(x)>0

άρα και

:γνησίως αύξουσα στο

.

ii) Από τύπους Vieta έχουμε: $\alpha \beta =\lambda ^2$ , $\alpha +\beta =\dfrac{2}{\lambda }$

Θέτω $u=\left ( \dfrac{1+\lambda ^2}{1-\lambda ^2} \right )^{\frac{1}{\lambda ^2}}= e^{\frac{1}{\lambda ^2} \cdot ln\left ( \frac{1+\lambda ^2}{1-\lambda ^2} \right )}$ . Ξαναθέτω $t=\dfrac{1}{\lambda ^2} \cdot ln\left ( \dfrac{1+\lambda ^2}{1-\lambda ^2 \right )}$

Έχουμε: $\lim_{\lambda \rightarrow 0}t= \lim_{\lambda \rightarrow 0} \left (\dfrac{1}{\lambda ^2} \cdot ln\left ( \dfrac{1+\lambda ^2}{1-\lambda ^2 \right )} \right )$ $=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{ln\left ( \dfrac{1+\lambda ^2}{1-\lambda ^2} \right )}{\lambda ^2}$ .
Έχουμε απροσδιόριστη μορφή $\dfrac{0}{0}$ οπότε από κανόνα de l' Hospital έχουμε:
$\lim_{\lambda \rightarrow 0}t= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\left (ln\left ( \dfrac{1+\lambda ^2}{1-\lambda ^2} \right ) \right )'}{\left (\lambda ^2 \right )'}$ $=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\dfrac{2(1-\lambda ^2)}{(1+\lambda ^2)(1-\lambda ^2)^2} = 2$ .

Άρα $l=\lim_{ \lambda\rightarrow 0 }u=\lim_{ t\rightarrow 2 }e^t =e^2$

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Μονοτονία και όριο

Μονοτονία και όριο

Re: Μονοτονία και όριο

Μέλη σε σύνδεση