Υπαρξιακά

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται συνάρτηση

δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,e]

με

και

και σύνολο τιμών το [-1, 4]

. Να αποδειχθεί ότι:

1. υπάρχουν τουλάχιστον δύο $\xi_1, \xi_2 \in (1,e)$ με $\xi_1 \neq \xi_2$ τέτοια ώστε $f'(\xi_1) = f'(\xi_2) = 0$ .
2. υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi (1, e)$ τέτοιο ώστε $f''(\xi)=0$ .
3. υπάρχει τουλάχιστον ·ένα $x_0 \in (1, e)$ τέτοιο ώστε $f (x_0) \left ( f'(x_0) - 4 f^4(x_0) \right ) = x_0$ .
1. η ευθεία $(\varepsilon): y = -x + e+2$ τέμνει τη γραφική παράσταση της $\mathcal{C}_f$ σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη $\alpha \in (1, e)$ .
2. υπάρχουν $w_1, w_2 \in (1, e)$ με $w_1 \neq w_2$ τέτοια ώστε .

#2

a. i. Η

είναι συνεχής στο $\displaystyle [1,e]$ και $\displaystyle -1<f(1)<f(e)<4$ οπότε τα ακρότατα δεν παρουσιάζονται στα άκρα του διαστήματος.
Από το Θ.Μ.Ε και επειδή δεν είναι σταθερή , υπάρχουν ${{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}\in (1,e)$ με ${{\xi }_{1}}\ne {{\xi }_{2}}$ και $f({{\xi }_{1}})=m=-1,f({{\xi }_{2}})=M=4\,\,\,,m\le f(x)\le M,\forall x\in [1,e]$ .
Αφού είναι παραγωγίσιμη έπεται από Fermat ότι ${f}'({{\xi }_{1}})={f}'({{\xi }_{2}})=0$
ii. Ισχύουν οι προυποθέσεις του Rolle για την {f}'

στο $[{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}]$ οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi (1,e)$ τέτοιο ώστε ${f}''(\xi )=0$ .
iii. Έστω $g(x)=f(x)\left( {f}'(x)-4{{f}^{4}}(x) \right)-x$ , συνεχής στο $[{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}]$ .
Επιπλέον $\displaystyle g({{\xi }_{1}})g({{\xi }_{2}})=[-4{{f}^{5}}({{\xi }_{1}})-{{\xi }_{1}}][-4{{f}^{5}}({{\xi }_{2}})-{{\xi }_{2}}]=[4{{f}^{5}}({{\xi }_{1}})+{{\xi }_{1}}][4{{f}^{5}}({{\xi }_{2}})+{{\xi }_{2}}]=(-4+{{\xi }_{1}})({{4}^{6}}+{{\xi }_{2}})<0$
To συμπέρασμα έπεται από Βolzano .
b. i. Έστω t(x)=f(x)+x-e-2

, συνεχής στο $[{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}]$ και $\displaystyle t({{\xi }_{1}})t({{\xi }_{2}})=[{{\xi }_{1}}-e-3][{{\xi }_{2}}-e+2]<0$
To συμπέρασμα έπεται από Βolzano .
ii. Είναι : f(1)=2

,

.
Με ΘΜΤ στα $\displaystyle [1,a],[a,e]$ , υπάρχουν ${{w}_{1}}\in (1,a),{{w}_{2}}\in (a,e)$ με
${f}'({{w}_{1}}){f}'({{w}_{2}})=\left( \frac{-a+e+2-2}{a-1} \right)\left( \frac{e+1+a-e-2}{e-a} \right)=1$

Υπαρξιακά

Υπαρξιακά

Re: Υπαρξιακά

Μέλη σε σύνδεση