Συμμετρικό ως προς το μηδέν

KARKAR · #1

Βρείτε τον θετικό

, για τον οποίο η συνάρτηση : $f(x)=a\cos^2x-8 \cos x-7$ ,

έχει σύνολο τιμών , ένα διάστημα της μορφής : $\left[- k , k \right] , k>0$ .

Maria-Eleni Nikolaou · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 20, 2023 6:25 pm
Βρείτε τον θετικό , για τον οποίο η συνάρτηση : $f(x)=a\cos^2x-8 \cos x-7$ ,

έχει σύνολο τιμών , ένα διάστημα της μορφής : $\left[- k , k \right] , k>0$ .

Θέτουμε $g(u)=au^2-8u-7 \ \ \,,\ \ D_g: [-1,1]$

Οπότε έχουμε, g’(u)=2au-8

. Για $g’(u)=0 \Leftrightarrow u=\dfrac{4}{a}$

Έτσι, η

παρουσιάζει ελάχιστο στο $u_0=\dfrac{4}{a}$ το $g(u_0)=-\dfrac{16}{a}-7$ , ενώ τα άκρα αποτελούν τοπικά μέγιστα με ολικό το g(-1)=a+1

, αφού

.

Θέλουμε $-g(u_0)=g(-1) \Leftrightarrow \dfrac{16}{a}+7=a+1 \Leftrightarrow a=8 \ \ \vee \ \ a=-2$

Επομένως, a=8

που δίνει

.

abgd · #3

Maria-Eleni Nikolaou έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 20, 2023 8:58 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 20, 2023 6:25 pm
Βρείτε τον θετικό , για τον οποίο η συνάρτηση : $f(x)=a\cos^2x-8 \cos x-7$ ,

έχει σύνολο τιμών , ένα διάστημα της μορφής : $\left[- k , k \right] , k>0$ .
Θέτουμε $g(u)=au^2-8u-7 \ \ \,,\ \ D_g: [-1,1]$

Οπότε έχουμε, . Για $g’(u)=0 \Leftrightarrow u=\dfrac{4}{a}$

Έτσι, η παρουσιάζει ελάχιστο στο $u_0=\dfrac{4}{a}$ το $g(u_0)=-\dfrac{16}{a}-7$ , ενώ τα άκρα αποτελούν τοπικά μέγιστα με ολικό το , αφού .

Θέλουμε $-g(u_0)=g(-1) \Leftrightarrow \dfrac{16}{a}+7=a+1 \Leftrightarrow a=8 \ \ \vee \ \ a=-2$

Επομένως, που δίνει .

Αυτή η απάντηση είναι σωστή, εφόσον $a\geq4$ . Γιατί;

Πρέπει να εξετάσουμε και την περίπτωση a<4

Maria-Eleni Nikolaou · #4

abgd έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 21, 2023 1:12 pm

Maria-Eleni Nikolaou έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 20, 2023 8:58 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 20, 2023 6:25 pm
Βρείτε τον θετικό , για τον οποίο η συνάρτηση : $f(x)=a\cos^2x-8 \cos x-7$ ,

έχει σύνολο τιμών , ένα διάστημα της μορφής : $\left[- k , k \right] , k>0$ .
Θέτουμε $g(u)=au^2-8u-7 \ \ \,,\ \ D_g: [-1,1]$

Οπότε έχουμε, . Για $g’(u)=0 \Leftrightarrow u=\dfrac{4}{a}$

Έτσι, η παρουσιάζει ελάχιστο στο $u_0=\dfrac{4}{a}$ το $g(u_0)=-\dfrac{16}{a}-7$ , ενώ τα άκρα αποτελούν τοπικά μέγιστα με ολικό το , αφού .

Θέλουμε $-g(u_0)=g(-1) \Leftrightarrow \dfrac{16}{a}+7=a+1 \Leftrightarrow a=8 \ \ \vee \ \ a=-2$

Επομένως, που δίνει .
Αυτή η απάντηση είναι σωστή, εφόσον $a\geq4$ . Γιατί;

Πρέπει να εξετάσουμε και την περίπτωση

Σωστά, παράλειψή μου. Προφανώς αν 0<a<4

η

είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της, επομένως πρέπει, $g(-1)=-g(1) \Leftrightarrow a+1=15-a \Leftrightarrow a=7$ , άτοπο.

Συμμετρικό ως προς το μηδέν

Συμμετρικό ως προς το μηδέν

Re: Συμμετρικό ως προς το μηδέν

Re: Συμμετρικό ως προς το μηδέν

Re: Συμμετρικό ως προς το μηδέν

Μέλη σε σύνδεση