Νέα ανισότητα

KARKAR · #1

α) Βρείτε το πρόσημο των τιμών της συνάρτησης : $f(x)=e^x\ell n \dfrac{1}{x}$ .

β) Δείξτε ότι : $\ell n x > \dfrac{x-1}{e^{x-1}} , \forall x>1$ .

γ) Προαιρετικό : Ισχύει η παραπάνω ανισότητα για άλλες τιμές του

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 18, 2023 10:08 am
α) Βρείτε το πρόσημο των τιμών της συνάρτησης : $f(x)=e^x\ell n \dfrac{1}{x}$ .

β) Δείξτε ότι : $\ell n x > \dfrac{x-1}{e^{x-1}} , \forall x>1$ .

γ) Προαιρετικό : Ισχύει η παραπάνω ανισότητα για άλλες τιμές του ;

α) $\displaystyle f(x) = - {e^x}\ln x.$ Άρα, $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} f(x) > 0,0 < x < 1 \hfill \\ f(x) = 0,x = 1 \hfill \\ f(x) < 0,x > 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

β) Θεωρώ τη συνάρτηση, $\displaystyle g(x) = {e^{x - 1}}\ln x - x + 1,$

με παράγωγο $\displaystyle g'(x) = \frac{{{e^{x - 1}} - x + x{e^{x - 1}}\ln x}}{x} > 0,$ για κάθε x>1.

Άρα, $\displaystyle g(x) > g(1) = 0$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 18, 2023 10:08 am
α) Βρείτε το πρόσημο των τιμών της συνάρτησης : $f(x)=e^x\ell n \dfrac{1}{x}$ .

β) Δείξτε ότι : $\ell n x > \dfrac{x-1}{e^{x-1}} , \forall x>1$ .

γ) Προαιρετικό : Ισχύει η παραπάνω ανισότητα για άλλες τιμές του ;

Το πρώτο οπως ο Γιώργος

Για το 2ο λίγο διαφορετικά ( αλλά όχι πιο απλά)

Έστω η συνάρτηση

με $g\left( x \right) = {e^x}\ln \left( {x + 1} \right)\,\,,x \in [0, + \infty )$ , $g'\left( x \right) = {e^x}\left( {\ln \left( {x + 1} \right) + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)$ .

$g\left( 0 \right) = 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,g'\left( 0 \right) = 1$ . η ευθεία , y = x

εφάπτεται της ${C_g}$ στο σημείο $A\left( {0,0} \right)$ .

Επειδή $g''\left( x \right) = {e^x}\left( {\ln \left( {x + 1} \right) + \dfrac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right) > 0\,\,,\,\,x > 0$ , η συνάρτηση

είναι κυρτή , έτσι :

$g(x) > x\,\,,x > 0$ , ή $g\left( {x - 1} \right) > x - 1\,\,,\,x > 1$ , δηλαδή :

${e^{x - 1}}\ln x > x - 1\,\,,x > 1$ ή $\boxed{\ln x > \dfrac{{x - 1}}{{{e^{x - 1}}}}\,\,,\,\,x > 1}$ .

#4

Αλλιώς, η ζητούμενη είναι άμεση συνέπεια των γνωστών

$\displaystyle{\frac{\ln x}{x-1}>\frac{1}{x}>e^{1-x}}$ για κάθε $\displaystyle{x>1.}$

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #6

ΠΕΡΙΤΤΑ

KARKAR · #7

: Νέα ανισότητα συνέχεια.png (39.65 KiB) Προβλήθηκε 1116 φορές

Πρόκειται για την $f(x)=-e^x\ell n x$ , η οποία είναι κοίλη τουλάχιστον στο $[1,+\infty)$ .

Συνεπώς : $-e^x\ell n x<-ex+e , \forall x>1$ , που είναι η ζητούμενη ανισότητα .

Η

είναι κοίλη (γιατί ; ) και σε ένα διάστημα της μορφής [a , 1] , 0<a<1

, οπότε η ανισότητα

ισχύει και τουλάχιστον για τα $x \in (a , 1)$ , ( στην πραγματικότητα ισχύει για ακόμη περισσότερα

) .

Νέα ανισότητα

Νέα ανισότητα

Re: Νέα ανισότητα

Re: Νέα ανισότητα

Re: Νέα ανισότητα

Re: Νέα ανισότητα

Re: Νέα ανισότητα

Re: Νέα ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση