Ελάχιστη

mick7 · #1

Έστω η συνάρτηση $f(x) = (x + a)\ln(x + b)$ .

Αν $f(x) \ge 0$ βρείτε την ελάχιστη τιμή του a^2 + b^2

.

#2

mick7 έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 18, 2026 10:39 pm
Έστω η συνάρτηση $f(x) = (x + a)\ln(x + b)$ .

Αν $f(x) \ge 0$ βρείτε την ελάχιστη τιμή του .

.
Πεδίο ορισμού x>-b

. Παρατηρούμε ότι το χ_0=-b+1

είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού και ισχύει $f(x_0)=(a-b+1)\ln1=0$ . Με άλλα λόγια για κάθε

του πεδίου ορισμού ισχύει $f(x) \ge f(x_0)$ . Έπεται ότι το x_0

είναι ολικό ελάχιστο της συνάρτησης και άρα f'(x_0)=0

. Εδώ

$f'(x)= \ln(x+1) + \dfrac {x+a}{x+b}$ , οπότε $f'(x_0)= 0 + \dfrac {a-b+1}{1}$ ,

και άρα (αυτό είναι το κλειδί) $\boxed {a-b+1=0},\,(*)$ . Συνεπώς

$a^2+b^2=^{(*)} a^2+ (a+1)^2= 2a^2+2a+1=2\left (a+ \dfrac {1}{2}\right )^2+ \dfrac {1}{2}\ge \boxed {\dfrac {1}{2}}$ με ισότητα όταν $a= -\dfrac {1}{2},\, b=a+1=\dfrac {1}{2}$

Ελάχιστη

Ελάχιστη

Re: Ελάχιστη

Μέλη σε σύνδεση