Ανισότητα και ολοκλήρωμα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Καλημέρα,
μια κρυα μερα σαν και αυτή συνεχίζοντας τον ανηφορικό δρόμο της ολοκλήρωσης παραθέτω την ακόλουθη

Αν η συνάρτηση f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο [0,1] με $\displaystyle{ f''(x) < 0 }$ για κάθε χ στο [0,1], f(0)=0 και $\displaystyle{ f'(1) > 0 }$ να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{ \int_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f^2 (x)}}} \le \frac{{f(1)}}{{f'(1)}} }$ .

giannisn1990 · #2

Για το διαστημα [0,1]

ισχύουν όλες οι προυποθέσεις του Θ.Μ.Τ για την

συνεπώς $\exists \xi \in (0,1)$ με $f^{\prime}(\xi)=f(1)-f(0)=f(1)$ .Όμως αφού η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική η $f^{\prime}$ είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση οπότε

$\displaystyle \xi <1 \Rightarrow f^{\prime}(\xi)>f^{\prime}(1) \Rightarrow f(1)>f^{\prime}(1)>0 \Rightarrow \frac{f(1)}{f^{\prime}(1)}>1$ .

Τώρα είναι $\displaystyle{ \int_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f^2 (x)}}} \leq \int_0^1 \frac{dx}{1+0}=1<\frac{f(1)}{f^{\prime}(1)}$

Ανισότητα και ολοκλήρωμα

Ανισότητα και ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα και ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση