Απλά ... δεν ισχύει

Tolaso J Kos · #1

Έστω

συνεχής. Να δειχθεί ότι δεν ισχύει $\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\, \mathrm{d}x = \int_{\alpha}^{\gamma} f(x)\, \mathrm{d}x \Rightarrow \beta = \gamma}$ .

ksofsa · #2

Γεια σου Τόλη!

Πράγματι, δεν ισχύει.

Απλό αντιπαράδειγμα η μηδενική συνάρτηση f(x)=0

και η σχέση

$\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{2}f(x)dx$ , δεδομένου ότι $1\neq 2$ .

Πιο σύνθετο αντιπαράδειγμα η συνάρτηση ημίτονο f(x)=sinx

και η σχέση

$\int_{0}^{0}sinxdx=\int_{0}^{2\pi }sinx dx=0$ , δεδομένου ότι $0\neq 2\pi$ .

Καλό ξημέρωμα!

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 10, 2021 11:51 pm
Έστω συνεχής. Να δειχθεί ότι δεν ισχύει $\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\, \mathrm{d}x = \int_{\alpha}^{\gamma} f(x)\, \mathrm{d}x \Rightarrow \beta = \gamma}$ .

Αν $\beta \ne \gamma$ τότε χωρίς βλάβη $\beta < \gamma$ . Τώρα, ως προς το παραπάνω:

Οποιαδήποτε συνάρτηση

με $\int_{\beta}^{\gamma} f(x)\, \mathrm{d}x =0$ είναι αντιπαράδειγμα (άμεσο, αφού μπορούμε να προσθέσουμε το (*)

στο αριστερό μέλος και να πάρουμε το δεξί). Αντίστροφα, αν ισχύει $\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\, \mathrm{d}x = \int_{\alpha}^{\gamma} f(x)\, \mathrm{d}x$ τότε $\int_{\beta}^{\gamma} f(x)\, \mathrm{d}x =0$ (άμεσο).

Με άλλα λόγια, βρήκαμε ικανή και αναγκαία συνθήκη για όλα τα αντιπαραδείγματα.

Απλά ... δεν ισχύει

Απλά ... δεν ισχύει

Re: Απλά ... δεν ισχύει

Re: Απλά ... δεν ισχύει

Μέλη σε σύνδεση