Με απλά υλικά (33)

#1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:R\to R$ ώστε να ισχύει
$\displaystyle x({f}'(x)-x\cos x)=f(x)$ , για κάθε $\displaystyle x\in R$ και $\displaystyle f(\pi )={{\pi }^{2}}$
α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης για κάθε $\displaystyle x\in R$ .
β) Αν θεωρήσουμε ότι $\displaystyle f(x)=x\sin x+\pi x$ , $\displaystyle x\in [0,\pi ]$ , να αποδείξετε ότι η $\displaystyle f$ αντιστρέφεται.
γ) Γνωρίζοντας ότι η $\displaystyle {f^{ - 1}}$ είναι συνεχής ,να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου με σύνορα
τη γραφική παράσταση της $\displaystyle {{f}^{-1}}$ , τον άξονα $\displaystyle {y}'y$ , την ευθεία $\displaystyle x={{\pi }^{2}}$ και την εφαπτομένη της $\displaystyle {{C}_{{{f}^{-1}}}}$ στο σημείο $\displaystyle O(0,0)$ .

#2

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 01, 2022 9:16 am
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:R\to R$ ώστε να ισχύει
$\displaystyle x({f}'(x)-x\cos x)=f(x)$ , για κάθε $\displaystyle x\in R$ και $\displaystyle f(\pi )={{\pi }^{2}}$
α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης για κάθε $\displaystyle x\in R$ .
β) Αν θεωρήσουμε ότι $\displaystyle f(x)=x\sin x+\pi x$ , $\displaystyle x\in [0,\pi ]$ , να αποδείξετε ότι η $\displaystyle f$ αντιστρέφεται.
γ) Γνωρίζοντας ότι η $\displaystyle {f^{ - 1}}$ είναι συνεχής ,να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου με σύνορα
τη γραφική παράσταση της $\displaystyle {{f}^{-1}}$ , τον άξονα $\displaystyle {y}'y$ , την ευθεία $\displaystyle x={{\pi }^{2}}$ και την εφαπτομένη της $\displaystyle {{C}_{{{f}^{-1}}}}$ στο σημείο $\displaystyle O(0,0)$ .

ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ

γειά σου Γιώργη για να ξεκινήσει με ωραία μαθηματικά η χρονιά....

ΛΥΣΗ

α) Είναι $x({f}'(x)-x\cos x)=f(x)\Leftrightarrow x{f}'\left( x \right)-f(x)={{x}^{2}}\cos x$

$\frac{x{f}'\left( x \right)-f(x)}{{{x}^{2}}}=\cos x\Leftrightarrow {{\left( \frac{f(x)}{x} \right)}^{\prime }}={{\left( \sin x \right)}^{\prime }}\Leftrightarrow \frac{f(x)}{x}=\sin x+c$

$f(x)=x\sin x+cx$ και αφού $\displaystyle f(\pi )={{\pi }^{2}}$ έχουμε $\pi \sin \pi +c\pi ={{\pi }^{2}}\Leftrightarrow c=\pi$ επομένως

$f(x)=x\sin x+\pi x,\,\,x\in R$

β) Είναι η $\displaystyle f(x)=x\sin x+\pi x$ , $\displaystyle x\in [0,\pi ]$ και στο διάστημα $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$ με

$0\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le \frac{\pi }{2}\Rightarrow 0\le \pi {{x}_{1}}<\pi {{x}_{2}}\le \frac{{{\pi }^{2}}}{2},\,\,\,0\le \sin {{x}_{1}}<\sin {{x}_{2}}\le 1$ επομένως θα ισχύει και

${{x}_{1}}\sin {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\sin {{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{1}}\sin {{x}_{1}}+\pi {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\sin {{x}_{2}}+\pi {{x}_{1}}\Rightarrow f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$

άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα $[0,\frac{\pi }{2}]$

Τώρα στο διάστημα $[\frac{\pi }{2},\,\pi ]$ είναι παραγωγίσιμη με ${f}'(x)=\sin x+x\cos x+\pi$ και με

$\frac{\pi }{2}\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le \pi \Rightarrow \,\,\,1\ge \sin {{x}_{1}}>\sin {{x}_{2}}\ge 0$ (1) επίσης $0\ge \cos {{x}_{1}}>\cos {{x}_{2}}\ge -1$

Και τότε από ${{x}_{1}}\cos {{x}_{1}}>{{x}_{2}}\cos {{x}_{1}}$ και από $\cos {{x}_{1}}>\cos {{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{2}}\cos {{x}_{1}}>{{x}_{2}}\cos {{x}_{2}}$ οπότε τελικά

$\sin {{x}_{1}}+{{x}_{2}}\cos {{x}_{1}}>\sin {{x}_{2}}+{{x}_{2}}\cos {{x}_{2}}\Rightarrow f(x{}_{1})-\pi >f({{x}_{2}})-\pi \Rightarrow f(x{}_{1})>f({{x}_{2}})$

που σημαίνει ότι η {f}'

είναι γνήσια φθίνουσα στο $[\frac{\pi }{2},\,\pi ]$ επομένως ισχύει

$\frac{\pi }{2}<x<\pi \Rightarrow {f}'(x)>{f}'(\pi )=0$ που σημαίνει ότι η

είναι γνήσια αύξουσα και στο $[\frac{\pi }{2},\,\pi ]$

άρα αφού και συνεχής είναι γνήσια αύξουσα στο $[0,\,\,\pi ]$ άρα και '1-1'

οπότε αντιστρέφεται.

γ) Είναι $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{-1}}\left( x \right)-{{f}^{-1}}(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{-1}}\left( x \right)}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{-1}}\left( x \right)}{f({{f}^{-1}}\left( x \right))}\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ u\to 0 \end{smallmatrix}}{\overset{u={{f}^{-1}}(x)}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{u}{f(u)}=$

$=\underset{u\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\frac{f(u)}{u}}=\frac{1}{{f}'(0)}=\frac{1}{\pi }={{\left( {{f}^{-1}} \right)}^{\prime }}(0)$ οπότε η εφαπτομένη της της $\displaystyle {{C}_{{{f}^{-1}}}}$ στο σημείο $\displaystyle O(0,0)$ είναι

$y-0=\frac{1}{\pi }(x-0)\Leftrightarrow y=\frac{1}{\pi }x$

Τώρα εφαπτομένη της ${{C}_{f}}$ στο $\displaystyle O(0,0)$ είναι (εύκολα) η $y=\pi x$ και λύνοντας την εξίσωση

$f(x)=\pi x\Leftrightarrow x\sin x=0\Leftrightarrow x=0,\,x=\pi$ στο διάστημα $[0,\,\,\pi ]$

Έτσι λόγω συμμετρίας των $\displaystyle {{C}_{{{f}^{-1}}}}$ και ${{C}_{f}}$ και των ευθειών $y=\frac{1}{\pi }x$ και $y=\pi x$ ως προς την ευθεία y=x

το ζητούμενο εμβαδό είναι ίσο με το εμβαδό που περικλείεται από την ${{C}_{f}}$ και $y=\pi x,\,\,x=0,\,\,x=\pi$

άρα $E=\int\limits_{0}^{\pi }{|f(x)-}\pi x|dx=\int\limits_{0}^{\pi }{|x\sin x}|dx=\int\limits_{0}^{\pi }{x\sin x}dx=$

$=-\left[ x\cos x \right]_{0}^{\pi }+\int\limits_{0}^{\pi }{\cos x}dx=-\left[ x\cos x \right]_{0}^{\pi }+\left[ \sin x \right]_{0}^{\pi }=\pi$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

kfd · #3

α. Από τη δοσμένη έχω $\frac{f(x)}{x}=sinx+c,x>0$ που για $x=\pi$ δίνει $c=\pi$ . Άρα f(x)=xsinx+cx,x>0

.
Επίσης είναι $\frac{f(x)}{x}=sinx+k,x<0$ , f(x)=xsinx+kx,x<0

και παίρνοντας όρια λόγω συνέχειας στο 0 είναι
$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=f(0)\Rightarrow f(0)=0.$
Λόγω παρ/τας της f στo 0 είναι $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x)}{x}=k=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(sinx+\pi )=\pi$ .
Άρα $f(x)=xsinx+\pi x,x\epsilon \mathbb{R}$ .

#4

kfd έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 01, 2022 6:02 pm
α. Από τη δοσμένη έχω $\frac{f(x)}{x}=sinx+c,x>0$ που για $x=\pi$ δίνει $c=\pi$ . Άρα .
Επίσης είναι $\frac{f(x)}{x}=sinx+k,x<0$ , και παίρνοντας όρια λόγω συνέχειας στο 0 είναι
$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=f(0)\Rightarrow f(0)=0.$
Λόγω παρ/τας της f στo 0 είναι $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x)}{x}=k=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(sinx+\pi )=\pi$ .
Άρα $f(x)=xsinx+\pi x,x\epsilon \mathbb{R}$ .

Ευχαριστώ τον kfd που συμπλήρωσε την αφηρημάδα μου στο χ=0 και το Γιώργο που το έστειλε σε μήνυμα
Καλή Χρονιά

Με απλά υλικά (33)

Με απλά υλικά (33)

Re: Με απλά υλικά (33)

Re: Με απλά υλικά (33)

Re: Με απλά υλικά (33)

Μέλη σε σύνδεση