ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Tkostas · #1

Προσπάθησα πολλές αντικαταστάσεις αλλά δεν το κατάφερα.
Θα μπορούσατε να με βοηθήσετε σαυτό?

$I=\int \sqrt{x}\left(1+\sqrt[3]{x} \right)^{4}dx$

#2

Ένας τρόπος είναι κάνεις το ανάπτυγμα και να πάρεις κάμποσα ολοκληρώματα δυνάμεων του

.

Η υπο ολοκλήρωση συνάρτηση ισούται με

$\displaystyle{6x^{7/6}+4x^{5/6}+4x^{3/2}+x^{11/6}+\sqrt{x}}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Τα γράφει όλα ο Αχιλλέας. Για διευκόλυνσή σου, ας προσθέσω ότι χρειάζεσαι την (a +b)^4 = a^4 + 4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

Kercyn · #4

Δηλαδή χωρίς Pascal γιοκ; Και αν είχε αντί για 4, ας πούμε, 20;

Tkostas · #5

Ευχαριστώ για το χρόνο σας αλλά ήθελα να το αποφύγω αυτό...

Είναι ολοκλήρωμα που δόθηκε σε σχολείο μαζί με άλλα πιο βατά.

Δεν υπάρχει πιο σύντομος τρόπος έτσι?

Αν ήταν όπως τα λέει ο Kercyn?

#6

Tkostas έγραψε:Ευχαριστώ για το χρόνο σας αλλά ήθελα να το αποφύγω αυτό...

Δυστυχώς, δε μπορείς να αποφύγεις τη χρήση της ταυτότητας (a+b)^4=...

.

Tkostas έγραψε: Είναι ολοκλήρωμα που δόθηκε σε σχολείο μαζί με άλλα πιο βατά.

Κι αυτό είναι "βατό". Η χρήση βασικών ολοκληρωμάτων σε συνδυασμό με τη χρήση βασικών ταυτοτήτων προηγείται της χρήσης αλλαγής μεταβητής ή άλλων τεχνικών ολοκλήρωσης. Πολλές φορές μάλιστα τίθονται ζητήματα που καταδεικνύουν την αξία του συνδυασμού αυτού.

Tkostas έγραψε: Δεν υπάρχει πιο σύντομος τρόπος έτσι?

Τα ολοκληρώματα της μορφής $\int (a+bx^s)^p x^q\,dx$ ( $p,q,s\in \mathbb{Q}$ έχουν μια συγκεκριμένη αντιμετώπιση αν τουλάχιστον ένας εκ των

, $\frac{q+1}{s}$ , και $p+\frac{q+1}{s}$ είναι ακέραιος.

Εδώ p=4

,

και

.

Σύμφωνα με την προαναφερθείσα μεθολογία-ποθ οι λεπτομέρειες της παραλείπονται- θέτουμε $t=x^{1/6$ και το ολοκλήρωμα γίνεται

$6\int t^8(1+t^2)^4\,dt$ .

Οπότε πάλι χρειάζεσαι την παραπάνω ταυτότητα.

Tkostas έγραψε: Αν ήταν όπως τα λέει ο Kercyn?

Ανάλογα με τις τιμές των p,q,r

υπάρχει "καταλληλότερη" αλλαγή μεταβλητής.

Δε μπορώ να φανταστώ, όμως, κάποιον να θέτει p=20

.

Τότε ίσως χρειαζόσουν το τρίγωνο Pascal ως βοηθηtικό μέσο για να αναπτύξεις τ ην ταυτότητα.

Αλλά γιατί κάποιος να θέσει ένα τέτοιο ολοκλήρωμα; Τι θέλει να ελέγξει; Αν οι μαθητές γνωρίζουν τη χρήση του τριγώνου Pascal ή ολοκλήρωση;

Με μικρό

διδάσκεις μια χαρά αυτό που έγραψα παραπάνω. Τη χρήση βασικών ολοκληρωμάτων σε συνδυασμό με βασικές ταυτοτήτες. Η αλλαγή μεταβλητής δεν είναι "φάρμακο" για κάθε ολοκλήρωμα.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Tkostas · #7

Ευχαριστώ Αχιλλέα.
Απλά αναρωτιόμουν μήπως μια αντικατάσταση έλυνε το θέμα χώρις την χρήση ταυτότητας.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Μέλη σε σύνδεση