Πρωινό ολοκληρωμα 2

sorfan · #1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\int \frac{1}{x(x^2+a^2)}dx$

Σπύρος Ορφανάκης

giannisn1990 · #2

με διάσπαση κλασμάτων θα πάρουμε $\displaystyle \int \frac{1}{x(x^2+a^2)}dx ={\frac{1}{a^{2}} \cdot \int \frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+a^{2}}}dx=\frac{1}{a^{2}} \cdot \ln |\frac{x}{x^{2}+a^{2}}|+C$

sorfan · #3

giannisn1990 έγραψε:με διάσπαση κλασμάτων θα πάρουμε $\displaystyle \int \frac{1}{x(x^2+a^2)}dx ={\frac{1}{a^{2}} \cdot \int \frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+a^{2}}}dx=\frac{1}{a^{2}} \cdot \ln |\frac{x}{x^{2}+a^{2}}|+C$

Γιάννη
αν είναι εύκολο θα ήθελα να δω τη διάσπαση γιατί υπάρχει ένα λάθος στο τελικό αποτέλεσμα.

Σπύρος

mathxl · #4

Σπύρο Το λάθος δεν είναι στην διάσπαση αλλά στην ολοκλήρωση του δεύτερου κλάσματος, το οποίο ύποθέτω προέρχεται από βιασύνη.

ΠΡΟΣΘΗΚΗ: Η λύση του Γιάννη
$\begin{array}{l} \int {\frac{1}{{x\left( {{\alpha ^2} + {x^2}} \right)}}} dx = \frac{1}{{{\alpha ^2}}}\int {\left( {\frac{1}{x} - \frac{x}{{{x^2} + {\alpha ^2}}}} \right)dx = } \\ = \frac{1}{{{\alpha ^2}}}\ln \left| x \right| - \frac{1}{{2{\alpha ^2}}}\int {\frac{{2x}}{{{x^2} + {\alpha ^2}}}dx = } \frac{1}{{{\alpha ^2}}}\ln \left| x \right| - \frac{1}{{2{\alpha ^2}}}\ln \left( {{x^2} + {\alpha ^2}} \right) + c \\ \end{array}$

#5

$\displaystyle{\displaystyle{I=\int \frac{1}{x(a^2+x^2)}dx\stackrel{x=au}=\frac{1}{a^2}\int\frac{du}{u(1+u^2)}}=\stackrel{u=\epsilon\phi t}=\frac{1}{a^2}\int\frac{1}{\epsilon\phi t}d t=\frac{1}{a^2}\int\frac{\sigma\upsilon\nu t}{\eta\mu t}dt\Rightarrow }$

$\displaystyle{I=\frac{1}{a^2}ln|\eta\mu t|+c}$

τα γυρίζουμε σε χ και τέλος

paganini · #6

Το x που ανηκει;
Γιατι η εφαπτομενη εχει συγκεκριμενο πεδιο ορισμου.

giannisn1990 · #7

η αντικατάσταση αυτή είναι δεκτή γιατί το x ανήκει στο R το οποίο είναι το συνολο τιμων της εφt

sorfan · #8

Στο συνημμένο αρχείο δίνω και τη δική μου προσέγγιση

Σ.Ο

#9

και για πιο σύντομα μπορούμε να θέσουμε από την αρχή $\displaystyle{x=a\cdot \epsilon\phi t}$ και να καταλήξουμε στο ίδιο

Πρωινό ολοκληρωμα 2

Πρωινό ολοκληρωμα 2

Re: Πρωινό ολοκληρωμα 2

Re: Πρωινό ολοκληρωμα 2

Re: Πρωινό ολοκληρωμα 2

Re: Πρωινό ολοκληρωμα 2

Re: Πρωινό ολοκληρωμα 2

Re: Πρωινό ολοκληρωμα 2

Re: Πρωινό ολοκληρωμα 2

Re: Πρωινό ολοκληρωμα 2

Μέλη σε σύνδεση