Υπαρξιακή

JimVerman · #1

Έστω $\displaystyle{f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}}$ μία συνεχής συνάρτηση. ΝΔΟ υπάρχει $\displaystyle{x_{o}\in \left ( a,b \right )}$ τέτοιο ώστε να ισχύει $\displaystyle{f\left ( x_{o} \right )=0}$ ή $\displaystyle{\int_{a}^{x_{o}}f\left ( t \right )dt=\int_{x_{o}}^{b}f\left ( t \right )dt}$ .

Η άσκηση δεν απαιτεί την παραγωγισιμότητα της $\displaystyle{f}$ (βλ. παρακάτω).

BAGGP93 · #2

Καλησπέρα.

Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει $\displaystyle{x_0\in\left(a,b\right)}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f(x_0)=0}$ ή

$\displaystyle{\int_{a}^{x_0}f(t)\,dt=\int_{x_0}^{b}f(t)\,dt}$ .

Επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{\left[a,b\right]}$ (ως παραγωγίσιμη),

ισοδύναμα, θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει $\displaystyle{x_0\in\left(a,b\right)}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f(x_0)=0}$

ή $\displaystyle{\int_{a}^{b}f(t)\,dt=2\,\int_{x_0}^{b}f(t)\,dt}$ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g:\left[a,b\right]\longrightarrow \mathbb{R}\,\,,g(x)=2\,\int_{x}^{b}f(t)\,dt-\int_{a}^{b}f(t)\,dt}$ .

$\displaystyle{1)}$ Η $\displaystyle{g}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{\left[a,b\right]}$ ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων .

$\displaystyle{2)}$ Η $\displaystyle{g}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\left(a,b\right)}$ ως

πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με $\displaystyle{g^\prime(x)=-2\,f(x)\,,x\in\left(a,b\right)}$

$\displaystyle{3)\,\,\,g(a)=\int_{a}^{b}f(t)\,dt\,\,\,,g(b)=-\int_{a}^{b}f(t)\,dt}$ .

Για το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{a}^{b}f(t)\,dt}$ διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.

$\displaystyle{i)\,\,\,\int_{a}^{b}f(t)\,dt=0}$

Τότε, $\displaystyle{g(a)=g(b)=0}$ και σύμφωνα με τα $\displaystyle{1)\,,2)\,,3)}$ η $\displaystyle{g}$

ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος $\displaystyle{Rolle}$ στο διάστημα $\displaystyle{\left[a,b\right]}$ , οπότε,

υπάρχει $\displaystyle{x_0\in\left(a,b\right)}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{g^\prime(x_0)=0\Leftrightarrow f(x_0)=0}$ .

$\displaystyle{ii)\,\,\,\int_{a}^{b}f(t)\,dt\neq 0}$ .

Η $\displaystyle{g}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{\left[a,b\right]}$ με $\displaystyle{g(a)\cdot g(b)=-\left(\int_{a}^{b}f(t)\,dt\right)^2<0}$ .

Επομένως, από το θεώρημα του $\displaystyle{Bolzano}$ , υπάρχει $\displaystyle{x_0\in\left(a,b\right)}$ τέτοιο,

ώστε $\displaystyle{g(x_0)=0\Leftrightarrow \int_{a}^{b}f(t)\,dt=2\,\int_{x_0}^{b}f(t)\,dt}$ .

kostas_zervos · #3

JimVerman έγραψε:Έστω $\displaystyle{f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}}$ μία παραγωγίσιμη συνάρτηση. ΝΔΟ υπάρχει $\displaystyle{x_{o}\in \left ( a,b \right )}$ τέτοιο ώστε να ισχύει $\displaystyle{f\left ( x_{o} \right )=0}$ ή $\displaystyle{\int_{a}^{x_{o}}f\left ( t \right )dt=\int_{x_{o}}^{b}f\left ( t \right )dt}$ .

$\displaystyle{f\left ( x_{o} \right )=0}$ ή $\displaystyle{\int_{a}^{x_{o}}f\left ( t \right )dt=\int_{x_{o}}^{b}f\left ( t \right )dt}\iff$

$\iff\displaystyle f\left ( x_{o} \right )\left(\int_{a}^{x_{o}}f\left ( t \right )dt-\int_{x_{o}}^{b}f\left ( t \right )dt\right)=0\iff$

$\iff\displaystyle f\left ( x_{o} \right )\left(\int_{a}^{x_{o}}f\left ( t \right )dt+\int_{b}^{x_{o}}f\left ( t \right )dt\right)=0$ .

Έστω $\displaystyle G(x)=\int_a^xf(t)\;dt\cdot \int_b^xf(t)\;dt$ ,

συνεχής στο [a,b]

,

παραγωγίσιμη στο (a,b)

με $G'(x)=\displaystyle f\left ( x\right )\left(\int_{a}^{x}f\left ( t \right )dt+\int_{b}^{x}f\left ( t \right )dt\right)$ και

G(a)=G(b)=0

,

τότε από Θ. Rolle υπάρχει $x_0\in(a,b)$ ώστε $G'(x_0)=0\iff \displaystyle f\left ( x_{o} \right )\left(\int_{a}^{x_{o}}f\left ( t \right )dt+\int_{b}^{x_{o}}f\left ( t \right )dt\right)=0$

(δεν χρειάζεται η παραγωγισιμότητα της

).

Υπαρξιακή

Υπαρξιακή

Re: Υπαρξιακή

Re: Υπαρξιακή

Μέλη σε σύνδεση