Αποδεικτική

Tolaso J Kos · #1

Τη πήρα από το Μαθηματικό Εργαστήρι. Τη δημοσίευσε ο Μπάμπης.

Δίδεται η συνάρτηση $f(x)=\ln (x^2+1) \; , \; x \in \mathbb{R}$ . Θεωρούμε και τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ της οποίας η γραφική παράσταση εφάπτεται στον άξονα x'x

στο σημείο ${\rm M}(1, 0)$ . Αν επιπλέον είναι
$\displaystyle{g''(x)=\frac{8x}{e^{f(x)}} \qquad \text{\gr για κάθε} \; x \in \mathbb{R}}$ δείξατε ότι $\bigintsss_0^1 g(x) \, {\rm d}x = f(1)$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 19, 2018 5:36 pm
Τη πήρα από το Μαθηματικό Εργαστήρι. Τη δημοσίευσε ο Μπάμπης.

Δίδεται η συνάρτηση $f(x)=\ln (x^2+1) \; , \; x \in \mathbb{R}$ . Θεωρούμε και τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ της οποίας η γραφική παράσταση εφάπτεται στον άξονα στο σημείο ${\rm M}(1, 0)$ . Αν επιπλέον είναι
$\displaystyle{g''(x)=\frac{8x}{e^{f(x)}} \qquad \text{\gr για κάθε} \; x \in \mathbb{R}}$ δείξατε ότι $\bigintsss_0^1 g(x) \, {\rm d}x = f(1)$ .

Γεια σου Τόλη.
Ετσι όπως είναι δεν βγαίνει.
Κάτι θα σου έχει ξεφύγει.

Tolaso J Kos · #3

Γεια σου Σταύρο. Σόρρυ, μου ξέφυγε !

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 19, 2018 5:36 pm
Τη πήρα από το Μαθηματικό Εργαστήρι. Τη δημοσίευσε ο Μπάμπης.

Δίδεται η συνάρτηση $f(x)=\ln (x^2+1) \; , \; x \in \mathbb{R}$ . Θεωρούμε και τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ της οποίας η γραφική παράσταση εφάπτεται στον άξονα στο σημείο ${\rm M}(1, 0)$ . Αν επιπλέον είναι
$\displaystyle{g''(x)=\frac{8x}{e^{f(x^{\color{red}2})}} \qquad \text{\gr για κάθε} \; x \in \mathbb{R}}$ δείξατε ότι $\bigintsss_0^1 g(x) \, {\rm d}x = f(1)$ .

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 19, 2018 5:36 pm
Δίδεται η συνάρτηση $f(x)=\ln (x^2+1) \; , \; x \in \mathbb{R}$ . Θεωρούμε και τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ της οποίας η γραφική παράσταση εφάπτεται στον άξονα στο σημείο ${\rm M}(1, 0)$ . Αν επιπλέον είναι
$\displaystyle{g''(x)=\frac{8x}{e^{f(x^{\color{red}2})}} \qquad \text{\gr για κάθε} \; x \in \mathbb{R}}$ δείξατε ότι $\bigintsss_0^1 g(x) \, {\rm d}x = f(1)$ .

.
H υπόθεση περί εφαπτομένης δίνει $g(1)=0, \, g'(1)=0$ . Τώρα, με δύο φορές ολοκλήρωση κατά μέρη έχουμε

$\displaystyle {\bigintsss_0^1 g(x) \, {\rm d}x = 0 - \bigintsss_0^1 χ g'(x) \, {\rm d}x = 0 + \frac {1}{2} \bigintsss_0^1 x^2g''(x) \, {\rm d}x =$

$\displaystyle {= \frac {1}{2} \bigintsss_0^1 x^2\frac {8x}{x^4+1} \, {\rm d}x = \bigintsss_0^1\frac {(x^4+1)'}{x^4+1} \, {\rm d}x= \ln 2 = f(1)$

Αποδεικτική

Αποδεικτική

Re: Αποδεικτική

Re: Αποδεικτική

Re: Αποδεικτική

Μέλη σε σύνδεση