Αποδεικτική

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3341
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Αποδεικτική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιαν 19, 2018 5:36 pm

Τη πήρα από το Μαθηματικό Εργαστήρι. Τη δημοσίευσε ο Μπάμπης.

Δίδεται η συνάρτηση f(x)=\ln (x^2+1) \; , \; x \in \mathbb{R}. Θεωρούμε και τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} της οποίας η γραφική παράσταση εφάπτεται στον άξονα x'x στο σημείο {\rm M}(1, 0). Αν επιπλέον είναι
\displaystyle{g''(x)=\frac{8x}{e^{f(x)}} \qquad \text{\gr για κάθε} \; x  \in \mathbb{R}} δείξατε ότι \bigintsss_0^1 g(x) \, {\rm d}x = f(1).


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1764
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αποδεικτική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιαν 19, 2018 5:57 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Ιαν 19, 2018 5:36 pm
Τη πήρα από το Μαθηματικό Εργαστήρι. Τη δημοσίευσε ο Μπάμπης.

Δίδεται η συνάρτηση f(x)=\ln (x^2+1) \; , \; x \in \mathbb{R}. Θεωρούμε και τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} της οποίας η γραφική παράσταση εφάπτεται στον άξονα x'x στο σημείο {\rm M}(1, 0). Αν επιπλέον είναι
\displaystyle{g''(x)=\frac{8x}{e^{f(x)}} \qquad \text{\gr για κάθε} \; x  \in \mathbb{R}} δείξατε ότι \bigintsss_0^1 g(x) \, {\rm d}x = f(1).
Γεια σου Τόλη.
Ετσι όπως είναι δεν βγαίνει.
Κάτι θα σου έχει ξεφύγει.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3341
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Αποδεικτική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιαν 19, 2018 5:59 pm

Γεια σου Σταύρο. Σόρρυ, μου ξέφυγε !
Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Ιαν 19, 2018 5:36 pm
Τη πήρα από το Μαθηματικό Εργαστήρι. Τη δημοσίευσε ο Μπάμπης.

Δίδεται η συνάρτηση f(x)=\ln (x^2+1) \; , \; x \in \mathbb{R}. Θεωρούμε και τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} της οποίας η γραφική παράσταση εφάπτεται στον άξονα x'x στο σημείο {\rm M}(1, 0). Αν επιπλέον είναι
\displaystyle{g''(x)=\frac{8x}{e^{f(x^{\color{red}2})}} \qquad \text{\gr για κάθε} \; x  \in \mathbb{R}} δείξατε ότι \bigintsss_0^1 g(x) \, {\rm d}x = f(1).


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10127
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αποδεικτική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 19, 2018 7:28 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Ιαν 19, 2018 5:36 pm
Δίδεται η συνάρτηση f(x)=\ln (x^2+1) \; , \; x \in \mathbb{R}. Θεωρούμε και τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} της οποίας η γραφική παράσταση εφάπτεται στον άξονα x'x στο σημείο {\rm M}(1, 0). Αν επιπλέον είναι
\displaystyle{g''(x)=\frac{8x}{e^{f(x^{\color{red}2})}} \qquad \text{\gr για κάθε} \; x  \in \mathbb{R}} δείξατε ότι \bigintsss_0^1 g(x) \, {\rm d}x = f(1).
.
H υπόθεση περί εφαπτομένης δίνει g(1)=0, \, g'(1)=0. Τώρα, με δύο φορές ολοκλήρωση κατά μέρη έχουμε

\displaystyle {\bigintsss_0^1 g(x) \, {\rm d}x = 0  - \bigintsss_0^1 χ g'(x) \, {\rm d}x = 0 + \frac {1}{2}  \bigintsss_0^1 x^2g''(x) \, {\rm d}x =

\displaystyle {= \frac {1}{2}  \bigintsss_0^1 x^2\frac {8x}{x^4+1} \, {\rm d}x = \bigintsss_0^1\frac {(x^4+1)'}{x^4+1} \, {\rm d}x= \ln 2 = f(1)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες