Ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε

$\displaystyle{f'(x)=\frac{1}{1+x^2} \quad , \quad x \in \mathbb{R}}$
Αν $f(1)=\frac{\pi}{4}$ και f(0)=0

τότε να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\alpha} x^3 f \left ( x^2 \right ) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\alpha^2} x f(x) \, \mathrm{d}x }$ .
$\displaystyle{\int_{0}^{1} x^3 f \left ( x^2 \right ) \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}}$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 01, 2019 9:27 pm
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε

$\displaystyle{f'(x)=\frac{1}{1+x^2} \quad , \quad x \in \mathbb{R}}$
Αν $f(1)=\frac{\pi}{4}$ και τότε να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\alpha} x^3 f \left ( x^2 \right ) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\alpha^2} x f(x) \, \mathrm{d}x }$ .

$\displaystyle{\int_{0}^{1} x^3 f \left ( x^2 \right ) \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}}$ .

...μιά προσπάθεια....

i) Είναι $I=\int\limits_{0}^{\alpha }{{{x}^{3}}}f\left( {{x}^{2}} \right)\text{d}x$ και με ${{x}^{2}}=u$ έχουμε

$2xdx=du\Rightarrow xdx=\frac{1}{2}du$ και $x=0\to u=0$ και $x=a\to u={{a}^{2}}$ ισχύει

$I=\int\limits_{0}^{\alpha }{{{x}^{2}}}f\left( {{x}^{2}} \right)(x\text{d}x)=\int\limits_{0}^{{{\alpha }^{2}}}{u}f\left( u \right)(\frac{1}{2}\text{du})=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{{{\alpha }^{2}}}{u}f\left( u \right)\text{du}$

ii) Τώρα είναι $J=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}}f\left( {{x}^{2}} \right)\text{d}x$ και σύμφωνα με το (i) έχουμε

$J=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{x}f\left( x \right)\text{d}x=\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{({{x}^{2}}{)}'}f\left( x \right)\text{d}x=\frac{1}{4}\left[ {{x}^{2}}f(x) \right]_{0}^{1}-\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}}{f}'\left( x \right)\text{d}x=$

$=\frac{1}{4}f(1)-\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}}\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\text{d}x=\frac{1}{4}f(1)-\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+1-1}{1+{{x}^{2}}}}\text{d}x=\frac{1}{4}f(1)-\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{\left( 1-\frac{1}{1+{{x}^{2}}} \right)}\text{d}x=$

$=\frac{1}{4}f(1)-\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{\left( 1-{f}'(x) \right)}\text{d}x=\frac{1}{4}f(1)-\frac{1}{4}\left[ x-f(x) \right]_{0}^{1}=$

$=\frac{1}{4}f(1)-\frac{1}{4}\left[ (1-f(1))-(0-f(0) \right]=\frac{1}{2}f(1)-\frac{1}{4}=\frac{\pi }{8}-\frac{1}{4}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση