Ένα ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^1 \left ( 2x^3-3x^2+x \right )^{2019} \, \mathrm{d}x }$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 03, 2019 10:56 am
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^1 \left ( 2x^3-3x^2+x \right )^{2019} \, \mathrm{d}x }$

H αλλαγή μεταβλητής y=x-1/2

το μετατρέπει στο $\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-1/2}^{1/2} \left ( 2y^3-\frac {1}{2} y\right )^{2019} \, \mathrm{d}x }$ , που ως ολοκλήρωμα περιττής συνάρτησης ισούται με

.

#3

Η ολοκληρωτέα συναρτηση εχει κεντρο συμμετρίας το $\displaystyle{(1/2,0)}$ οπως εύκολα μπορούμε να δείξουμε αν πρώτα παραγοντοποιήσουμε σε $\displaystyle{(2x(x-1)(x+1/2))^{2019}}$ αρα το ολοκλήρωμα κάνει 0

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 03, 2019 10:56 am
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^1 \left ( 2x^3-3x^2+x \right )^{2019} \, \mathrm{d}x }$

...Καλημέρα σε όλο το

....με μια προσπάθεια στο ενδιαφέρον υπολογιστικό....

Είναι η συνάρτηση $f(x)={{\left( 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x \right)}^{2019}}={{\left( x(2{{x}^{2}}-3x+1) \right)}^{2019}}$

Τώρα για την $g(x)=x(2{{x}^{2}}-3x+1)=x(x-1)(2x-1)$ έχουμε ότι

$\begin{matrix} & g(\frac{1}{2}-x)=(\frac{1}{2}-x)(\frac{1}{2}-x-1)(2(\frac{1}{2}-x)-1)= \\ & =(\frac{1}{2}-x)(-\frac{1}{2}-x)(-2x)=x(x+1)(\frac{1}{2}-x) \\ \end{matrix}$

Και
$\begin{matrix} & g(\frac{1}{2}+x)=(\frac{1}{2}+x)(\frac{1}{2}+x-1)(2(\frac{1}{2}+x)-1)= \\ & =(\frac{1}{2}+x)(-\frac{1}{2}+x)(2x)=-x(x+1)(\frac{1}{2}-x) \\ \end{matrix}$

Επομένως ισχύει $g(\frac{1}{2}+x)=-g(\frac{1}{2}-x)$ (1)

Τώρα $\mathcal{J}=\int\limits_{0}^{1}{{{\left( g(x) \right)}^{2019}}}\text{d}x=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{{{\left( g(x) \right)}^{2019}}}\text{d}x+\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{{{\left( g(x) \right)}^{2019}}}\text{d}x$ (2) και έχουμε

${{J}_{1}}=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{{{\left( g(x) \right)}^{2019}}}\text{d}x$ με $u=\frac{1}{2}-x$ είναι du=-dx

και $x=0\to u=\frac{1}{2},\,\,\,x=\frac{1}{2}\to u=0$ άρα

${{J}_{1}}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{0}{{{\left( g(\frac{1}{2}-u) \right)}^{2019}}(-}\text{du})=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{{{\left( g(\frac{1}{2}-u) \right)}^{2019}}}\text{du}$ που λόγω της (1) γίνεται

${{J}_{1}}=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{{{\left( -g(\frac{1}{2}+u) \right)}^{2019}}}\text{d}x=-\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{{{\left( g(\frac{1}{2}+u) \right)}^{2019}}}\text{d}x$ που με

$x=\frac{1}{2}+u\to dx=du,\,\,u=0\to x=\frac{1}{2},\,\,u=\frac{1}{2}\to x=1$ έτσι έχουμε ${{J}_{1}}=-\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{{{\left( g(\frac{1}{2}+u) \right)}^{2019}}}\text{du}=-\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{{{\left( g(x) \right)}^{2019}}}\text{d}x$ άρα από (2)

$\mathcal{J}=-\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{{{\left( g(x) \right)}^{2019}}}\text{d}x+\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{{{\left( g(x) \right)}^{2019}}}\text{d}x=0$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

panagiotis iliopoulos · #5

Θέτουμε

Τότε προκύπτει μετά από πράξεις $J=-J\Rightarrow 2J=0\Rightarrow J=0$ .

Ένα ολοκλήρωμα

Ένα ολοκλήρωμα

Re: Ένα ολοκλήρωμα

Re: Ένα ολοκλήρωμα

Re: Ένα ολοκλήρωμα

Re: Ένα ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση