Ένα ολοκλήρωμα

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4011
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ένα ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Νοέμ 03, 2019 10:56 am

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^1 \left ( 2x^3-3x^2+x \right )^{2019} \, \mathrm{d}x }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 03, 2019 11:32 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Νοέμ 03, 2019 10:56 am
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^1 \left ( 2x^3-3x^2+x \right )^{2019} \, \mathrm{d}x }
H αλλαγή μεταβλητής y=x-1/2 το μετατρέπει στο \displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-1/2}^{1/2} \left ( 2y^3-\frac {1}{2} y\right )^{2019} \, \mathrm{d}x }, που ως ολοκλήρωμα περιττής συνάρτησης ισούται με 0.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2180
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ένα ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Κυρ Νοέμ 03, 2019 11:47 am

Η ολοκληρωτέα συναρτηση εχει κεντρο συμμετρίας το \displaystyle{(1/2,0)} οπως εύκολα μπορούμε να δείξουμε αν πρώτα παραγοντοποιήσουμε σε \displaystyle{(2x(x-1)(x+1/2))^{2019}} αρα το ολοκλήρωμα κάνει 0


KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Ένα ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Νοέμ 03, 2019 11:59 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Νοέμ 03, 2019 10:56 am
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^1 \left ( 2x^3-3x^2+x \right )^{2019} \, \mathrm{d}x }
...Καλημέρα σε όλο το :logo: ....με μια προσπάθεια στο ενδιαφέρον υπολογιστικό....

Είναι η συνάρτηση f(x)={{\left( 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x \right)}^{2019}}={{\left( x(2{{x}^{2}}-3x+1) \right)}^{2019}}

Τώρα για την g(x)=x(2{{x}^{2}}-3x+1)=x(x-1)(2x-1)έχουμε ότι

\begin{matrix} 
  & g(\frac{1}{2}-x)=(\frac{1}{2}-x)(\frac{1}{2}-x-1)(2(\frac{1}{2}-x)-1)= \\  
 & =(\frac{1}{2}-x)(-\frac{1}{2}-x)(-2x)=x(x+1)(\frac{1}{2}-x) \\  
\end{matrix}

Και
\begin{matrix} 
  & g(\frac{1}{2}+x)=(\frac{1}{2}+x)(\frac{1}{2}+x-1)(2(\frac{1}{2}+x)-1)= \\  
 & =(\frac{1}{2}+x)(-\frac{1}{2}+x)(2x)=-x(x+1)(\frac{1}{2}-x) \\  
\end{matrix}

Επομένως ισχύει g(\frac{1}{2}+x)=-g(\frac{1}{2}-x)(1)

Τώρα \mathcal{J}=\int\limits_{0}^{1}{{{\left( g(x) \right)}^{2019}}}\text{d}x=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{{{\left( g(x) \right)}^{2019}}}\text{d}x+\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{{{\left( g(x) \right)}^{2019}}}\text{d}x (2) και έχουμε

{{J}_{1}}=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{{{\left( g(x) \right)}^{2019}}}\text{d}x με u=\frac{1}{2}-x είναι du=-dx και x=0\to u=\frac{1}{2},\,\,\,x=\frac{1}{2}\to u=0 άρα

{{J}_{1}}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{0}{{{\left( g(\frac{1}{2}-u) \right)}^{2019}}(-}\text{du})=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{{{\left( g(\frac{1}{2}-u) \right)}^{2019}}}\text{du} που λόγω της (1) γίνεται

{{J}_{1}}=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{{{\left( -g(\frac{1}{2}+u) \right)}^{2019}}}\text{d}x=-\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{{{\left( g(\frac{1}{2}+u) \right)}^{2019}}}\text{d}x που με

x=\frac{1}{2}+u\to dx=du,\,\,u=0\to x=\frac{1}{2},\,\,u=\frac{1}{2}\to x=1 έτσι έχουμε {{J}_{1}}=-\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{{{\left( g(\frac{1}{2}+u) \right)}^{2019}}}\text{du}=-\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{{{\left( g(x) \right)}^{2019}}}\text{d}x άρα από (2)

\mathcal{J}=-\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{{{\left( g(x) \right)}^{2019}}}\text{d}x+\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{{{\left( g(x) \right)}^{2019}}}\text{d}x=0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 84
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Re: Ένα ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Κυρ Νοέμ 03, 2019 12:36 pm

Θέτουμε x=1-y
Τότε προκύπτει μετά από πράξεις J=-J\Rightarrow 2J=0\Rightarrow J=0.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης