Ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής και περιττή συνάρτηση. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{-1}^{1} f(x) \ln \left ( 1 + e^{f(x)} \right ) \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} f^2(x) \, \mathrm{d}x }$

Christos.N · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 22, 2021 10:18 pm
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής και περιττή συνάρτηση. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{-1}^{1} f(x) \ln \left ( 1 + e^{f(x)} \right ) \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} f^2(x) \, \mathrm{d}x }$

Έστω $\displaystyle{I=\int_{-1}^{1} f(x) \ln \left ( 1 + e^{f(x)} \right ) \, \mathrm{d}x}$ , με την αντικατάσταση $x\to-x$ προκύπτει

$I=-I+\int_{-1}^{1} f^2(x) \, \mathrm{d}x }$ όμως f^2

άρτια συνάρτηση, έτσι $2I=2\int_{0}^{1} f^2(x) \, \mathrm{d}x }$ και άμεσο το ζητούμενο.

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση