Παραγωγίσιμη, αντιστρέψιμη υπό ολοκληρωτικές συνθήκες

Al.Koutsouridis · #1

Έστω

συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών και g(x)

συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, που δίνεται από την σχέση

$g(x)=f^{\prime}\left (2x\right)\sin \pi x +x$ .

Η g(x)

έχει αντίστροφη συνάρτηση $g^{-1}\left(x\right)$ , που ικανοποιεί την ισότητα

$\displaystyle{\int_{0}^{1} g^{-1}\left(x\right)dx= 2\int_{0}^{1} f^{\prime}\left (2x\right)\sin \pi x dx + \dfrac{1}{4}}$ .

Να βρείτε την τιμή του ολοκληρώματος

$\displaystyle{\int_{0}^{2} f\left (x\right)\cos \dfrac{\pi x}{2} dx}$ .

Πηγή.

abgd · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 05, 2024 8:39 pm
Έστω συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών και συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, που δίνεται από την σχέση

$g(x)=f^{\prime}\left (2x\right)\sin \pi x +x$ .

Η έχει αντίστροφη συνάρτηση $g^{-1}\left(x\right)$ , που ικανοποιεί την ισότητα

$\displaystyle{\int_{0}^{1} g^{-1}\left(x\right)dx= 2\int_{0}^{1} f^{\prime}\left (2x\right)\sin \pi x dx + \dfrac{1}{4}}$ .

Να βρείτε την τιμή του ολοκληρώματος

$\displaystyle{\int_{0}^{2} f\left (x\right)\cos \dfrac{\pi x}{2} dx}$ .

Για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με συνεχή πρώτη παράγωγο γνωρίζουμε, (αποδεικνύεται εύκολα), ότι: $\displaystyle{\boxed{\int_{a}^{b} {f(x)} dx+\int_{f(a)}^{f(b)}{f^{-1}(x)}dx=bf(b)-af(a)}}}$ .

Ισχύει $\displaystyle{g(0)=0, \ \ g(1)=1}$ και η $\displaystyle{g}$ είναι παραγωγίσιμη με συνεχή πρώτη παράγωγο.
Άρα

$\displaystyle{\int_{0}^{1} {g(x)} dx+\int_{0}^{1}{g^{-1}(x)}dx=1 \ \ \bf(1)}$ .

Είναι $\displaystyle{\int_{0}^{1} g^{-1}\left(x\right)dx= 2\int_{0}^{1} f^{\prime}\left (2x\right)\sin \pi x dx + \dfrac{1}{4} \bf(2)}$ οπότε, και με τη βοήθεια της $\bf(1)$ ,

$\displaystyle{\int_{0}^{1} g^{-1}(x)}dx= 2\int_{0}^{1} \left(g(x)-x\right) dx + \dfrac{1}{4}\Rightarrow 1-\int_0^1{g(x)}dx=2\int_0^1{g(x)}dx-\int_0^1{2x}dx+\dfrac{1}{4}}$
Άρα
$\displaystyle \boxed{\int_0^1{g(x)}dx=\dfrac{7}{12}}}$ και από την $\bf(1)$ $\displaystyle \boxed{\int_0^1{g^{-1}(x)}dx=\dfrac{5}{12}}}$

Στην ισότητα $\bf(2)$ , κάνοντας αντικατάσταση το

με

θα πάρουμε:

$\displaystyle{\dfrac{5}{12}= \int_{0}^{2} f^{\prime}\left (t\right)\sin \dfrac{\pi t}{2} dx + \dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{1}{6}=\left[f(t)\sin \dfrac{\pi t}{2}\right]_0^2- \dfrac{\pi }{2}\int_{0}^{2} f(t)\cos \dfrac{\pi t}{2} dx}$

Έτσι θα είναι

$\displaystyle{\boxed{\int_{0}^{2} f\left (x\right)\cos \dfrac{\pi x}{2} dx=\dfrac{1}{3\pi}}}$ .

Παραγωγίσιμη, αντιστρέψιμη υπό ολοκληρωτικές συνθήκες

Παραγωγίσιμη, αντιστρέψιμη υπό ολοκληρωτικές συνθήκες

Re: Παραγωγίσιμη, αντιστρέψιμη υπό ολοκληρωτικές συνθήκες

Μέλη σε σύνδεση