Τουλάχιστον μία ρίζα

mathxl · #1

Έστω $\displaystyle{ f: [0,1]\to\mathbb{R} }$ μία συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε $\displaystyle{\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx+f(1)=0. }$ . Να δείξετε ότι η f έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (0,1).

#2

mathxl έγραψε:Έστω $\displaystyle{ f: [0,1]\to\mathbb{R} }$ μία συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε $\displaystyle{\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx+f(1)=0. }$ . Να δείξετε ότι η f έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (0,1).

Αν f σταθερή, τότε η υπόθεση δίνει ότι είναι σταθερά 0, οπότε τελειώσαμε.
Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι η f δεν είναι σταθερή. Αν δεν μηδενιζόταν
θα διατηρούσε πρόσημο.΄Εστω f πάντα θετική (όμοια για την περίπτωση του αρνητικού).
Αφού δεν είναι σταθερή, κάπου είναι γνήσια θετική.
Αλλά τότε το $\[ \int_{0}^{1}f(x)dx > 0$ και άρα
$\[ \int_{0}^{1}f(x)dx+f(1) >0$ , άτοπο.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

giannisn1990 · #3

Γράφουμε $\displaystyle \int _{0}^{1} f(x)dx=f(c)$ , $c \in (0,1)$ έτσι έχουμε f(c)+f(1)=0

και μετά Θεωρημα Bolzano για την

στο

Ωmega Man · #4

Γιάννη αυτό το μαγικό πως το έκανες;Μπορείς να μας το περιγράψεις αναλυτικότερα;

giannisn1990 · #5

Χρησιμοποίησα το ΘΜΤΟΛ έτσι $\displaystyle \int _{0}^{1} f(x)dx=(1-0)f(c)=f(c)$

paganini · #6

Αν και δεν ειμαι ο Γιαννης καταλαβα νομιζω τι εκανε.
Θεωρει μια παραγουσα F της f οποτε ειναι: $\int_{0}^{1}{f(x)dx}=F(1)-F(0)=\frac{F(1)-F(0)}{1-0}(1-0)=_{\Theta .M.T. [0,1]}F^\prime(c)=f(c)$ και τα λοιπα.
Επιτυχημενη σκεψη.

mathxl · #7

Οι παραπάνω ιδέες (χωρίς ΘΜΤΟΛ)γραμμένες λίγο πιο αναλυτικά σε pdf

Τουλάχιστον μία ρίζα

Τουλάχιστον μία ρίζα

Re: Τουλάχιστον μία ρίζα

Re: Τουλάχιστον μία ρίζα

Re: Τουλάχιστον μία ρίζα

Re: Τουλάχιστον μία ρίζα

Re: Τουλάχιστον μία ρίζα

Re: Τουλάχιστον μία ρίζα

Μέλη σε σύνδεση