Άθροισμα ημιτόνων

peter · #1

Αποδείξτε ότι υπάρχει $x\in \mathbb R$ ώστε $|\sin x|+|\sin (x+1)|> 4/\pi$ .

#2

peter έγραψε:Αποδείξτε ότι υπάρχει $x\in \mathbb R$ ώστε $|\sin x|+|\sin (x+1)|> 4/\pi$ .

Για

στο πρώτο τεταρτημόριο οι παραστάσεις είναι θετικές, οπότε

$|\sin x|+|\sin (x+1)|= \sin x+\sin (x+1) = 2 \sin \left ( x + \frac {1}{2}\right) \cos \frac {1}{2}$

$\ge 2 \sin \left ( x + \frac {1}{2}\right) \cos \frac {\pi}{4}= \sqrt 2 \sin \left ( x + \frac {1}{2}\right)$

Για $x = \pi/2-1$ ισούται $\sqrt 2 > 1,4 > 4/\pi$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Αλλιώς:

$\displaystyle{ \int_0^{\pi/2} (|\sin{x}| + |\sin{(x+1)}|) \, dx = \cdots = 2}$ . Επομένως υπάρχει

ώστε $|\sin{x}| + |\sin{(x+1)}| > 4/\pi$ αφού αλλιώς θα είχαμε $\displaystyle{ 2 = \int_0^{\pi/2} (|\sin{x}| + |\sin{(x+1)}|) \, dx < \int_0^{\pi/2} \frac{4}{\pi} \, dx = 2}$ , όπου η αυστηρή ανισότητα έπεται επειδή η συνάρτηση $f(x) = |\sin{x}| + |\sin{(x+1)}|$ είναι συνεχής και δεν είναι ταυτοτικά ίση με $4/\pi$ . Π.χ. $f(0) = \sin{1} < 1 < 4/\pi$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

peter έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 05, 2012 12:35 am
Αποδείξτε ότι υπάρχει $x\in \mathbb R$ ώστε $|\sin x|+|\sin (x+1)|> 4/\pi$ .

Λίγο διαφορετικά από τον Μιχάλη.
Για $x=\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}$
γίνεται

$\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2})+\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2})=2\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2})$

Αν χρησιμοποιήσουμε την

$\sin x> \frac{2}{\pi }x,x\in (0,\frac{\pi }{2})$

τότε

$2\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2})> \frac{4}{\pi }(\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2})> \frac{4}{\pi }$

Ενώ αν χρησιμοποιήσουμε την $\sin x> x-\frac{x^{3}}{6},x> 0$
παίρνουμε

$2\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2})> 2(\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}-\frac{(\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2})^{3}}{6})>1,6$

Να σημειώσω ότι με παραγώγιση μπορούμε να δούμε ότι το

$2\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2})$

είναι η μέγιστη τιμή της παράστασης για $x\in [0,\pi -1]$

Άθροισμα ημιτόνων

Άθροισμα ημιτόνων

Re: Άθροισμα ημιτόνων

Re: Άθροισμα ημιτόνων

Re: Άθροισμα ημιτόνων

Μέλη σε σύνδεση