ΘΕΜΑ 12

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
Βασίλης Καλαμάτας
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2009 10:50 am
Τοποθεσία: Λαμία

ΘΕΜΑ 12

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βασίλης Καλαμάτας » Πέμ Οκτ 08, 2009 11:59 pm

Καλησπέρα σε όλους...
Επειδή η διδασκαλία του πρώτου κεφάλαιου της ανάλυσης πλησιάζει προς το τέλος, παραθέτω ένα θέμα από το προσωπικό μου διαγώνισμα. Είναι δική μου σύνθεση με διάφορες πηγές, από ερωτήματα που υπάρχουν ακόμη και στο σχολικό βιβλίο...
Θα αποτελέσει τιμή και μεγάλη χαρά να βοηθήσω κάποιον να συμπληρώσει το δικό του διαγώνισμα με αυτήν.
Επίσης θα ήθελα, αν κρίνεται κατάλληλη από το Θωμά που το ξεκίνησε αλλά τον έχω χάσει, να μπει στη συλλογή των θεμάτων του mathematica. Στην περίπτωση αυτή παρακαλώ ας με ενημερώσει κάποιος για την αρίθμηση που έχουν φθάσει τα θέματα για να βάλω το αντίστοιχο νούμερο..

ΘΕΜΑ 12
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=ln(1-x)-x , με x<1 και g(x)=1-e^{x} με x\epsilon R.

α) Να βρείτε τη συνάρτηση της σύνθεσης (fog) , τη συνάρτηση της σύνθεσης (gof) και να αποδείξετε οτι για κάθε x<1 ισχύει (fog)(x)=e^{x}\cdot (gof)(x) .

β) Να αποδείξετε οτι η συνάρτηση f είναι 1-1 και να βρείτε το σημείο, στο οποίο η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα x'x.

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης d(x)=e^{x}-\frac{1}{x} , με x>0.

δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση \varphi (x)=1-\frac{1}{x} , με x\neq 0. Να αποδείξετε οτι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και \varphi τέμνονται σε μοναδικό σημείο.

ε) Δίνεται μια συνάρτηση h συνεχής στο R για την οποία γνωρίζουμε ότι ισχύει η σχέση h(2007)+h(2008)=h(2009)+h(2010)+(fog)(0). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h δεν αντιστρέφεται.

Καλό βράδυ σε όλους.........

Υ.Γ. Το βρήκα το νούμερο, θα παρακαλούσα όποιον συνάδελφο μπορεί να βοηθήσει να συνεχίσουμε τη συλλογή ασκήσεων, δε βλέπω το λόγο να σταματήσει....
τελευταία επεξεργασία από Βασίλης Καλαμάτας σε Σάβ Οκτ 10, 2009 8:47 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Υπάρχουν γέφυρες στη ζωή που περνάς και γέφυρες που καις....
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Παρ Οκτ 09, 2009 9:36 am

Βασίλη νομίζω ότι το όμορφο ερώτημα είναι το τελευταίο, αλλά το βρίσκω λίγο ξεκομένο από τα υπόλοιπα ερωτήματα... Όσο αφορά για τις ασκήσεις που μαζεύαμε, σταμάτησε (έτσι πιστεύω) και απλά τις ονομάζουμε επαναληπτικές ασκήσεις (τουλάχιστον εγώ αυτό πράττω). Αν και η άσκηση έχει 5 διαφορετικές συναρτήσεις (αυτό αποφεύγεται στις Πανελλήνιες εξετάσεις) νομίζω ότι για διαγώνισμα να ελέξουμε τα παιδιά είναι κατάλληλη. Δίνω ενδεικτικές λύσεις {και το ε ερώτημα προτείνω να το βάλουμε ως ξεχωριστή άσκηση ..}
α) (fog)(x)=x+e^x-1 x ανήκει στο R και (gof)(x)=1-(1-x)e^{-x} με χ<1
β) Η fog είναι γν. αύξουσα οπότε 1-1 και στο χ=0 τέμνει τον άξονα χ΄χ (διέρχεται από την αρχή των αξόνων)
γ)Όμοια και η d συνάρτηση είναι γν. αύξουσα για χ>0 και αν πάρουμε τα όρια στα άκρα του π.ο βρίσκουμε ότι το πεδίο τιμών (ή σύνολο ορισμού) είναι οι πραγματικοί αριθμοί
δ) Παρατηρούμε ότι d(χ)= φ(x)-g(x) που είναι γν. αύξουσα και έχει λύση αφού το μηδέν ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης d
ε) Έστω η h είναι 1-1 αφού είναι κ συνεχής πρέπει να είναι γν. μονότονη οπότε αν h γν. αύξουσα .... άτοπο, όμοια και για γν. φθίνουσα
Καλημέρα σε όλους...
τελευταία επεξεργασία από Μάκης Χατζόπουλος σε Παρ Οκτ 09, 2009 11:19 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Βασίλης Καλαμάτας
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2009 10:50 am
Τοποθεσία: Λαμία

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βασίλης Καλαμάτας » Παρ Οκτ 09, 2009 10:57 am

Καλημέρα...
Για το (ε) υπάρχει λύση που είναι στα σχολικά πλαίσια, χωρίς τη χρήση της πρότασης αν h συνεχής και 1-1 τότε είναι γνήσια μονότονη, που δεν έχει το σχολικό βιβλίο. Θα το αφήσω για λίγο να το δει όποιος θέλει και μετά θα το δώσω...
Το ερώτημα είναι πράγματι ξεκομένο από τα υπόλοιπα και πολύ δύσκολο, αλλά στο διαγώνισμα προσπαθώ κάποιο ερώτημα να μην έχουν ξαναδεί ποτέ παρόμοιο οι μαθητές για να δω πως θα αντιδράσουν...
Όσο για τις 5 συναρτήσεις το πιο πιθανό είναι να μη δοθεί ποτέ τέτοιο θέμα στις Πανελλήνιες, αλλά σκοπός μου είναι ακριβώς όπως είπε ο Μάκης να εξετάσω τους μαθητές στο ευρύτερο δυνατό φάσμα της ύλης...


Υπάρχουν γέφυρες στη ζωή που περνάς και γέφυρες που καις....
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2652
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Οκτ 09, 2009 11:11 am

ε) Είναι f(g(0))=f(0)=0, οπότε αν

g(x)=h(x+2)-h(x)

παίρνουμε

g(2007)+g(2008)=0.

Οπότε g(2007)=g(2008)=0 (κι άρα η h δεν είναι 1-1)

ή

g(2007)\cdot g(2008)<0,

η οποία λόγω συνέχειας της g και το Θεώρημα Bolzano,
μας λέει ότι υπαρχει 2007<\xi<2008, τέτοιο ώστε g(\xi)=0 (κι άρα η h και πάλι δεν είναι 1-1) .

Άρα η h δεν αντιστρέφεται.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Παρ Οκτ 09, 2009 11:20 am

Για το ε
Αν κάποιοι από τους αριθμούς h(2007) , h(2008) , h(2009) , h(2010) είναι ίσοι τότε η h δεν είναι 1 - 1 οπότε τελειώνουμε . Εργαζόμαστε τώρα για την περίπτωση που οι αριθμοί είναι διαφορετικοί μεταξύ τους .
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{ 
\phi (x) = 2h(x) - h(2008) - h(2007) 
} Είναι \displaystyle{ 
\phi (2007) = 2h(2007) - h(2008) - h(2007) = h(2007) - h(2008) 
}

\displaystyle{ 
\phi (2008) = 2h(2008) - h(2008) - h(2007) = h(2008) - h(2007) 
}
Άρα \displaystyle{ 
\phi (2007) \cdot \phi (2008) =  - \left( {h(2008) - h(2007)} \right)^2  < 0 
}
Δηλ. υπάρχει \displaystyle{ 
\xi _1  \in (2007,2008) 
} τέτοιο ώστε \displaystyle{ 
\phi (\xi _1 ) = 0 \Leftrightarrow 2h(\xi _1 ) = h(2008) + h(2007) 
}
Όμοια στο [ 2009 , 2010 ] για τη συνάρτηση \displaystyle{ 
\kappa (x) = 2h(x) - h(2010) - h(2009) 
} θα υπάρχει \displaystyle{ 
\xi _2  \in (2009,2010) 
} τέτοιο ώστε \displaystyle{ 
\phi (\xi _2 ) = 0 \Leftrightarrow 2h(\xi _2 ) = h(2010) + h(2009) 
}
Δηλ. \displaystyle{ 
2h(\xi _1 ) = 2h(\xi _2 ) \Leftrightarrow h(\xi _1 ) = h(\xi _2 ) 
} άρα η h δεν αντιστρέφεται .

Υ.Γ Ενώ πληκτρολογούσα είδα και τη λύση του Αχιλλέα που μου φαίνεται πιο κομψή ωστόσο ανεβάζω και τη δική μου εκδοχή .


Χρήστος Καρδάσης
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Παρ Οκτ 09, 2009 12:23 pm

Καλημέρα
Μια ιδέα ακόμη για το ε)
Ουσιαστικά έχουμε μια συνεχή στο R συνάρτηση f τέτοια ώστε \displaystyle{ 
f(x_1 ) + f(x_2 ) = f(x_3 ) + f(x_4 )\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\,x_1  < x_2  < x_3  < x_4}
α) Αν \displaystyle{f(x_1 ) = f(x_2 )\,\,\,\,\,\,\,\eta \,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x_3 ) = f(x_4 )\,} τότε η f δεν είναι 1-1

β) Αν \displaystyle{ 
f(x_1 ) \ne f(x_2 )\,\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x_3 ) \ne f(x_4 )\,\,\,\,\,\pi .\chi \,\,\,\,f(x_1 ) < f(x_2 )\,\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x_3 ) > f(x_4 )} τότε

\displaystyle{ 
f(x_1 ) < \frac{{f(x_1 ) + f(x_2 )}}{2} < f(x_2 )\,\,\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x_4 ) < \frac{{f(x_3 ) + f(x_4 )}}{2} < f(x_3 )}
και από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχουν \displaystyle{ 
\xi _1  \in (x_1 ,x_2 )\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\xi _2  \in (x_3 ,x_4 )\,} , τέτοια ώστε \displaystyle{ 
f(\xi _1 ) = \frac{{f(x_1 ) + f(x_2 )}}{2}\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,f(\xi _2 ) = \frac{{f(x_3 ) + f(x_4 )}}{2}}
Λόγω της (1) τώρα προκύπτει \displaystyle{f(\xi _1 ) = f(\xi _2 )\,\,\,\,\,(\mu \varepsilon \,\,\,\xi _1  \ne \xi _2 )} και συνεπώς η f δεν είναι 1-1.

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Παρ Οκτ 09, 2009 12:40 pm

Πολύ ωραίες λύσεις και τελικά είχα δίκιο είναι ένα πολύ όμορφο θέμα Βασίλη

Υπάρχει και άλλη λύση με μέγιστη και ελάχιστη τιμή ...


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2652
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Οκτ 09, 2009 12:51 pm

hsiodos έγραψε:Καλημέρα
Μια ιδέα ακόμη για το ε)
Ουσιαστικά έχουμε μια συνεχή στο R συνάρτηση f τέτοια ώστε \displaystyle{ 
f(x_1 ) + f(x_2 ) = f(x_3 ) + f(x_4 )\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\,x_1  < x_2  < x_3  < x_4}
α) Αν \displaystyle{f(x_1 ) = f(x_2 )\,\,\,\,\,\,\,\eta \,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x_3 ) = f(x_4 )\,} τότε η f δεν είναι 1-1

β) Αν \displaystyle{ 
f(x_1 ) \ne f(x_2 )\,\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x_3 ) \ne f(x_4 )\,\,\,\,\,\pi .\chi \,\,\,\,f(x_1 ) < f(x_2 )\,\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x_3 ) > f(x_4 )} τότε

\displaystyle{ 
f(x_1 ) < \frac{{f(x_1 ) + f(x_2 )}}{2} < f(x_2 )\,\,\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x_4 ) < \frac{{f(x_3 ) + f(x_4 )}}{2} < f(x_3 )}
και από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχουν \displaystyle{ 
\xi _1  \in (x_1 ,x_2 )\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\xi _2  \in (x_3 ,x_4 )\,} , τέτοια ώστε \displaystyle{ 
f(\xi _1 ) = \frac{{f(x_1 ) + f(x_2 )}}{2}\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,f(\xi _2 ) = \frac{{f(x_3 ) + f(x_4 )}}{2}}
Λόγω της (1) τώρα προκύπτει \displaystyle{f(\xi _1 ) = f(\xi _2 )\,\,\,\,\,(\mu \varepsilon \,\,\,\xi _1  \ne \xi _2 )} και συνεπώς η f δεν είναι 1-1.

Γιώργος
Πιο γενικά:

Έστω h συνεχής στο \mathbb{R} και n\geq 1. Αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί x_1<x_2<\cdots<x_{2n} και θετικοί ρητοί αριθμοί m_1, m_2,\dots m_n τέτοιοι ώστε

\displaystyle{m_1 h(x_1)+m_2 h(x_2)+\cdots +m_n h(x_n)= m_1 h(x_{n+1})+m_2 h(x_{n+2})+\cdots +m_n h(x_{2n})},(*)

τότε η h δεν είναι 1-1.

Φιλικά,

Αχιλλέας

(*) Φυσικά το ουσιώδες για τους m_1, m_2,\dots m_n είναι το άθροισμα τους. Οπότε στο δεύτερο μέλος μπορούμε να πολλαπασιάσουμε τους h(x_{n+1}),h(x_{n+2}),\dots, h(x_{2n}) με οποιαδήποτε μετάθεση των m_1, m_2,\dots m_n.


Άβαταρ μέλους
Βασίλης Καλαμάτας
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2009 10:50 am
Τοποθεσία: Λαμία

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βασίλης Καλαμάτας » Παρ Οκτ 09, 2009 9:56 pm

Στο κάλεσμα του Μάκη για Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής....

Επειδή h συνεχής στο [2007,2008] απο Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής ισχύει m\leq h(x)\leq M για κάθε x\epsilon [2007,2008].
Για x=2007 είναι m\leq h(2007)\leq M
Για x=2008 είναι m\leq h(2008)\leq M
Άρα είναι 2m\leq h(2007)+h(2008)\leq 2M δηλαδή m\leq \frac{h(2007)+h(2008)}{2}\leq M
Από Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών υπάρχει ένα τουλ. \xi \epsilon (2007,2008) ώστε h(\xi )=\frac{h(2007)+h(2008)}{2}.

Όμοια στο [2009,2010]...... υπάρχει ένα τουλ. \vartheta  \epsilon (2009,2010) ώστε h(\theta  )=\frac{h(2009)+h(2010)}{2}.

Από τη δοσμένη σχέση προκύπτει ότι h(\xi )=h(\theta ) , άρα η h δεν είναι 1-1.

Ευχαριστώ πολύ όλους εσάς που ασχοληθήκατε (Μάκη, Γιώργο, Χρήστο, Αχιλλέα), όλες οι λύσεις ήταν καταπληκτικές....
Όταν βρω χρόνο υπόσχομαι να πληκτρολογήσω τις λύσεις και να τις ανεβάσω...

Υ.Γ. Πρέπει να πω, για να είμαι ειλικρινής, ότι είναι στο πνεύμα της λύσης του Γιώργου τώρα που το είδα καλύτερα... Συγγνώμη φίλε αλλά χάθηκα στον πλουραλισμό των λύσεων.... Επέτρεψε μου να μη το σβήσω, μην πάει χαμένη τόση πληκτρολόγηση...


Υπάρχουν γέφυρες στη ζωή που περνάς και γέφυρες που καις....
Άβαταρ μέλους
John13
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Δευ Απρ 13, 2009 11:09 am
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από John13 » Σάβ Οκτ 10, 2009 12:36 am

Μήπως στο δ έπρεπε να λέει χ>0 για να είναι ίση με τη d(x)?
edit: Δεν θα έπρεπε να πούμε και ότι για χ<0 είναι αδύνατη και μετά ότι για χ>0 είναι ίση με τη d?


Γελάτε με εμένα γιατί είμαι διαφορετικός, γελάω με εσάς γιατι είστε όλοι ιδιοι!
\boxed{\displaystyle\int^b_a f(x)\,dx = \left[\displaysyle\int f(x)\,dx \right]^b_a}
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATI

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Οκτ 10, 2009 1:13 pm

Μια διόρθωση στο (δ) όπως μου επισήμανε πολύ σωστά ο Βασίλης

Αν x>0 τότε έχουμε την \phi(x)- g(x)=d(x) που είναι γν. αύξουσα και έχει σ.τ τους πραγματικούς αριθμούς άρα το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της οπότε υπάρχει μοναδικό x_0 τέτοιο ώστε d(x_0)=0

Αν x<0τότε η \phi(x) - g(x)=d(x) >0 άρα δεν μηδενίζεται για κανένα x<0 οπότε έχει ένα μοναδικό σημείο που τέμνονται οι γραφ. παραστάσεις \phiκαι g (και είναι στο διάστημα(0,+\infty)
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τετ Μάιος 09, 2012 1:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: LaTeX


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Βασίλης Καλαμάτας
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2009 10:50 am
Τοποθεσία: Λαμία

Re: ΘΕΜΑ 12

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βασίλης Καλαμάτας » Σάβ Οκτ 10, 2009 8:50 pm

Διόρθωσα και τον τίτλο.... Όταν βρω χρόνο να πληκτρολογήσω θα ανεβάσω και τις λύσεις...

Παρακαλώ όποιον από τους διαχειριστές είναι διαθέσιμος να τη μετακινήσει στο φάκελο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ


Υπάρχουν γέφυρες στη ζωή που περνάς και γέφυρες που καις....
Άβαταρ μέλους
Βασίλης Καλαμάτας
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2009 10:50 am
Τοποθεσία: Λαμία

Re: ΘΕΜΑ 12

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βασίλης Καλαμάτας » Τρί Οκτ 20, 2009 11:43 am

Καλημέρα σε όλους....
Είχα υποσχεθεί να βρω χρόνο να πληκτρολογήσω σε ένα αρχείο τις εξαιρετικές λύσεις που μαζεύτηκαν για το ερώτημα (ε) του θέματος 12.
Θα ήθελα να ευχαριστήσω τους συναδέλφους που ασχολήθηκαν με την άσκηση και στο συννημένο μπορεί όποιος θέλει να κρατήσει για το αρχείο του τις λύσεις που προτάθηκαν.
Επειδή γνωρίζετε πόσο μονότονη και κουραστική είναι η πληκτρολόγηση, περιμένω τις παρατηρήσεις και τις διορθώσεις σας, ίσως και κάποια άλλη ιδέα για να προσθέσω.

Φιλικά...
Συνημμένα
12 - ΕΡΩΤΗΜΑ _ε_.pdf
(75.39 KiB) Μεταφορτώθηκε 242 φορές


Υπάρχουν γέφυρες στη ζωή που περνάς και γέφυρες που καις....
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΘΕΜΑ 12

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τρί Οκτ 20, 2009 12:34 pm

Βασίλη πολύ όμορφη δουλειά, αλλά έχω ένσταση!!! Την δική μου λύση δεν γράφτηκε και ήταν και η πρώτη!!! Αστειεύομαι φυσικά (έχεις βάλει σχολικές λύσεις, i know...)


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες