Συναρτησιακή σχέση

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 901
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Συναρτησιακή σχέση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Μαρ 04, 2018 8:56 pm

Έστω η συνάρτηση \mathrm{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}} τέτοια ώστε, για κάθε \mathrm{x\in \mathbb{R}} να ισχύει:
\displaystyle{\mathrm{\left (f(x)  \right )^{3}+2f(x)=x+2}} Να αποδείξετε ότι:
  • Η \mathrm{f} είναι αντιστρέψιμη και το πεδίο ορισμού της \mathrm{f^{-1}} είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών \mathbb{R}.
  • Για κάθε \mathrm{x,y\in \mathbb{R}} ισχύει \displaystyle \mathrm{\left | f^{-1}(x)-f^{-1}(y) \right |\geq 2\left | x-y \right |}.
  • Η \mathrm{f} είναι συνεχής, αξιοποιώντας το ερώτημα (β΄) ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο.
  • Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της \mathrm{f}, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία \mathrm{x=1}.
Φιλικά,
Μάριος


EDIT: Ξέχασα ένα x.
τελευταία επεξεργασία από M.S.Vovos σε Κυρ Μαρ 04, 2018 10:09 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4448
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή σχέση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 04, 2018 9:53 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Κυρ Μαρ 04, 2018 8:56 pm
Έστω η συνάρτηση \mathrm{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}} τέτοια ώστε, για κάθε \mathrm{x\in \mathbb{R}} να ισχύει:
\displaystyle{\mathrm{\left (f(x)  \right )^{3}+2f(x)=2 \color{red}{x}}}

Φιλικά,
Μάριος
Μήπως είναι κάπως έτσι η εκφώνηση;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6274
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Συναρτησιακή σχέση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Μαρ 04, 2018 9:54 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Κυρ Μαρ 04, 2018 8:56 pm
Έστω η συνάρτηση \mathrm{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}} τέτοια ώστε, για κάθε \mathrm{x\in \mathbb{R}} να ισχύει:
\displaystyle{\mathrm{\left (f(x)  \right )^{3}+2f(x)=2}} Να αποδείξετε ότι:...
Κάτι δεν πάει καλά. Η συνάρτηση που ικανοποιεί τη δοθείσα είναι προφανώς σταθερή.


Μάγκος Θάνος
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1548
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Συναρτησιακή σχέση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Πέμ Μαρ 08, 2018 1:21 am

M.S.Vovos έγραψε:
Κυρ Μαρ 04, 2018 8:56 pm
Έστω η συνάρτηση \mathrm{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}} τέτοια ώστε, για κάθε \mathrm{x\in \mathbb{R}} να ισχύει:
\displaystyle{\mathrm{\left (f(x)  \right )^{3}+2f(x)=x+2}} Να αποδείξετε ότι:
  • Η \mathrm{f} είναι αντιστρέψιμη και το πεδίο ορισμού της \mathrm{f^{-1}} είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών \mathbb{R}.
  • Για κάθε \mathrm{x,y\in \mathbb{R}} ισχύει \displaystyle \mathrm{\left | f^{-1}(x)-f^{-1}(y) \right |\geq 2\left | x-y \right |}.
  • Η \mathrm{f} είναι συνεχής, αξιοποιώντας το ερώτημα (β΄) ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο.
Φιλικά,
Μάριος


EDIT: Ξέχασα ένα x.

...μια απάντηση για τα δύο ερωτήματα... πιστεύω με το ποιό σύντομο τρόπο...

Α) Είναι {{\left( \text{f}(\text{x}) \right)}^{\text{3}}}\text{+2f}(\text{x})\text{=x+2}\Leftrightarrow {{\left( \text{f}(\text{x}) \right)}^{\text{3}}}\text{+2f}(\text{x})-2\text{=x}\text{,}\,\,\,\text{x}\in R

και θεωρώντας την συνάντηση g(x)={{x}^{3}}+2x-2,\,\,x\in R θα έχουμε την ισότητα g(f(x))=x,\,\,\,x\in R(1)

Επειδή τώρα {g}'(x)=3{{x}^{2}}+2>0,\,\,x\in R η συνάρτηση g είναι γνήσια αύξουσα στο R και έτσι από

{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow g(f({{x}_{1}}))<g(f({{x}_{2}}))\overset{g>}{\mathop{\Rightarrow }}\,f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})

που σημαίνει ότι συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα άρα και '1-1' επομένως αντιστρέψιμη.

Β) Αφού τώρα το σύνολο τιμών της συνεχούς g είναι g(R)=(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x))=(-\infty ,\,+\infty )=R

και από (1) g(f(x))=g({{g}^{-1}}(x))\Leftrightarrow f(x)={{g}^{-1}}(x),\,\,\,x\in R(2) λόγω της ισότητας, το σύνολο τιμών της f δηλαδή

το πεδίο ορισμού της {{f}^{-1}} είναι το σύνολο τιμών της {{g}^{-1}} δηλαδή το πεδίο ορισμού της g, άρα το R

(….από την (1) μπορούμε να βρούμε και την αντίστροφη της fμε όπου x την {{f}^{-1}}(y),\,\,y\in R προκύπτει ότι

g(f({{f}^{-1}}(y)))={{f}^{-1}}(y)\Leftrightarrow g(y)={{f}^{-1}}(y),\,\,\,y\in R άρα {{f}^{-1}}(x)=g(x)={{x}^{3}}+2x-2,\,\,x\in R)

...για το εμβαδό σύμφωνα με το ζητούμενο έχουμε δύο χωρία...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης