Συναρτησιακή σχέση

M.S.Vovos · #1

Έστω η συνάρτηση $\mathrm{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ τέτοια ώστε, για κάθε $\mathrm{x\in \mathbb{R}}$ να ισχύει:
$\displaystyle{\mathrm{\left (f(x) \right )^{3}+2f(x)=x+2}}$ Να αποδείξετε ότι:

Η $\mathrm{f}$ είναι αντιστρέψιμη και το πεδίο ορισμού της $\mathrm{f^{-1}}$ είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών $\mathbb{R}$ .

Για κάθε $\mathrm{x,y\in \mathbb{R}}$ ισχύει $\displaystyle \mathrm{\left | f^{-1}(x)-f^{-1}(y) \right |\geq 2\left | x-y \right |}$ .

Η $\mathrm{f}$ είναι συνεχής, αξιοποιώντας το ερώτημα (β΄) ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο.

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $\mathrm{f}$ , τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία $\mathrm{x=1}$ .

Φιλικά,
Μάριος

EDIT: Ξέχασα ένα

.

Tolaso J Kos · #2

M.S.Vovos έγραψε: Κυρ Μαρ 04, 2018 8:56 pm Έστω η συνάρτηση $\mathrm{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ τέτοια ώστε, για κάθε $\mathrm{x\in \mathbb{R}}$ να ισχύει:
$\displaystyle{\mathrm{\left (f(x) \right )^{3}+2f(x)=2 \color{red}{x}}}$

Φιλικά,
Μάριος

Μήπως είναι κάπως έτσι η εκφώνηση;

#3

M.S.Vovos έγραψε: Κυρ Μαρ 04, 2018 8:56 pm Έστω η συνάρτηση $\mathrm{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ τέτοια ώστε, για κάθε $\mathrm{x\in \mathbb{R}}$ να ισχύει:
$\displaystyle{\mathrm{\left (f(x) \right )^{3}+2f(x)=2}}$ Να αποδείξετε ότι:...

Κάτι δεν πάει καλά. Η συνάρτηση που ικανοποιεί τη δοθείσα είναι προφανώς σταθερή.

#4

M.S.Vovos έγραψε: Κυρ Μαρ 04, 2018 8:56 pm Έστω η συνάρτηση $\mathrm{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ τέτοια ώστε, για κάθε $\mathrm{x\in \mathbb{R}}$ να ισχύει:
$\displaystyle{\mathrm{\left (f(x) \right )^{3}+2f(x)=x+2}}$ Να αποδείξετε ότι:

Η $\mathrm{f}$ είναι αντιστρέψιμη και το πεδίο ορισμού της $\mathrm{f^{-1}}$ είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών $\mathbb{R}$ .

Για κάθε $\mathrm{x,y\in \mathbb{R}}$ ισχύει $\displaystyle \mathrm{\left | f^{-1}(x)-f^{-1}(y) \right |\geq 2\left | x-y \right |}$ .

Η $\mathrm{f}$ είναι συνεχής, αξιοποιώντας το ερώτημα (β΄) ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο.
Φιλικά,
Μάριος

EDIT: Ξέχασα ένα .

...μια απάντηση για τα δύο ερωτήματα... πιστεύω με το ποιό σύντομο τρόπο...

Α) Είναι ${{\left( \text{f}(\text{x}) \right)}^{\text{3}}}\text{+2f}(\text{x})\text{=x+2}\Leftrightarrow {{\left( \text{f}(\text{x}) \right)}^{\text{3}}}\text{+2f}(\text{x})-2\text{=x}\text{,}\,\,\,\text{x}\in R$

και θεωρώντας την συνάντηση $g(x)={{x}^{3}}+2x-2,\,\,x\in R$ θα έχουμε την ισότητα $g(f(x))=x,\,\,\,x\in R$ (1)

Επειδή τώρα ${g}'(x)=3{{x}^{2}}+2>0,\,\,x\in R$ η συνάρτηση

είναι γνήσια αύξουσα στο

και έτσι από

${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow g(f({{x}_{1}}))<g(f({{x}_{2}}))\overset{g>}{\mathop{\Rightarrow }}\,f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$

που σημαίνει ότι συνάρτηση

είναι γνήσια αύξουσα άρα και '1-1'

επομένως αντιστρέψιμη.

Β) Αφού τώρα το σύνολο τιμών της συνεχούς

είναι $g(R)=(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x))=(-\infty ,\,+\infty )=R$

και από (1) $g(f(x))=g({{g}^{-1}}(x))\Leftrightarrow f(x)={{g}^{-1}}(x),\,\,\,x\in R$ (2) λόγω της ισότητας, το σύνολο τιμών της

δηλαδή

το πεδίο ορισμού της ${{f}^{-1}}$ είναι το σύνολο τιμών της ${{g}^{-1}}$ δηλαδή το πεδίο ορισμού της

, άρα το

(….από την (1) μπορούμε να βρούμε και την αντίστροφη της

με όπου

την ${{f}^{-1}}(y),\,\,y\in R$ προκύπτει ότι

$g(f({{f}^{-1}}(y)))={{f}^{-1}}(y)\Leftrightarrow g(y)={{f}^{-1}}(y),\,\,\,y\in R$ άρα ${{f}^{-1}}(x)=g(x)={{x}^{3}}+2x-2,\,\,x\in R$ )

...για το εμβαδό σύμφωνα με το ζητούμενο έχουμε δύο χωρία...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Συναρτησιακή σχέση

Συναρτησιακή σχέση

Re: Συναρτησιακή σχέση

Re: Συναρτησιακή σχέση

Re: Συναρτησιακή σχέση

Μέλη σε σύνδεση