΄Ενα εξαιρετικό διαγώνισμα από τον Δημήτρη Ντρίζο.

#1

΄Ενα εξαιρετικό διαγώνισμα από τον Δημήτρη Ντρίζο.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ
ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Δημήτρης Ντρίζος
Μαθηματικός στο 8ο ΓΕ.Λ Τρικάλων,
πρώην Σχολικός Σύμβουλος

Christos.N · #2

Με εξαίρεση το ερώτημα Σωστό Λάθος δ και την διατύπωση του ε , είναι ένα σύμμετρο διαγώνισμα.

nikoszan · #3

Το διαγώνισμα φανερώνει την ικανότητα του θεματοδότη να λαμβάνει υπόψη του το μωσαϊκό του μαθητικού πληθυσμού και να δημιουργεί ένα διαγώνισμα που να δίνει την δυνατότητα της ορθής κλιμάκωσης βαθμών.Υποδειγματικό διαγώνισμα!!!

Θωμάς Ποδηματάς · #4

Καλημέρα

Πραγματικά ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΟ διαγώνισμα !!! Συγχαρητήρια θερμά στο Θεματοδότη.
Περιμένω εναγωνίως και το επαναληπτικό σε όλη την Ύλη... Ελπίζω να υπάρξει...
Καλημέρα σε όλους

hlkampel · #5

Ο τίτλος του post τα λέει όλα.
Είναι ένα εξαιρετικό και σωστά δομημένο διαγώνισμα. Εκτός απο τη δική μου άποψη έκφράζω
και την άποψη των συναδέλφων και των μαθητών (το έγραψαν στο σχολείο μου), το οποίο ευχαριστήθηκαν
και είχε και πολύ καλές κριτικές από τους ίδιους.
Συγχαρητήρια στον θεματοδότη.

#6

Καλησπέρα σε όλους. Δίνω μια προσέγγιση σε ένα από τα θέματα του διαγωνίσματος, περιμένοντας κι άλλες αναρτήσεις που θα αντιμετωπίσουν τα θέματα και με άλλους τρόπους.

Πριν, όμως, δίνω μια απάντηση στα ερωτήματα σωστού - λάθους Δ κι Ε, επειδή δεν εντοπίζω κάτι που να χαλά τη συμμετρία του διαγωνίσματος. Ίσως κάτι να μην βλέπω.

δ) Υπάρχουν συναρτήσεις που η παράγωγός τους μηδενίζεται σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού τους χωρίς να είναι σταθερές στο πεδίο ορισμού τους.

Σωστό. Π.χ. $\displaystyle f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {c_1},\;\;x \in \left( {a,\;b} \right)\\ {c_2},\;x \in \left( {c,\;d} \right) \end{array} \right.,\;\;\;{c_1} \ne {c_2},\;\;\;\;a < b < c < d$

ε) Αν μια συνάρτηση $\displaystyle f$ είναι συνεχής σε ένα διάστημα $\displaystyle \left[ {\alpha ,\beta } \right]$ με $\displaystyle f\left( \alpha \right) \cdot f\left( \beta \right) > 0$ , τότε αποκλείεται να υπάρχει $\displaystyle {x_0} \in \left( {\alpha ,\beta } \right)$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle f\left( {{x_0}} \right) = 0$

Λάθος, π.χ. η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = {x^2}$ είναι συνεχής στο [-1, 1]

, με $f(-1)\cdot f(1) > 0$ και είναι f(0) = 0

.

ΘΕΜΑ Γ

Έστω μια συνάρτηση $f:R \to R$ για την οποία ισχύει:
$\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 5x - 3$ για κάθε $x \in R$ ,
όπου

συνάρτηση με $g\left( x \right) = x - 1$ , $x \in R$

Γ1. Να αποδείξετε ότι $f\left( x \right) = {x^3} + 2x$ , $\displaystyle x \in R$

Για κάθε $x \in R$ είναι $f\left( {g\left( x \right)} \right) = {x^3} - 3{x^2} + 5x - 3 \Leftrightarrow f\left( {x - 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^3} + 2\left( {x - 1} \right)$ ,
οπότε $f\left( x \right) = {x^3} + 2x$ .

Γ2. Έστω ${\rm A}\left( {{x_1},f\left( {{x_1}} \right)} \right)$ και ${\rm B}\left( {{x_2},f\left( {{x_2}} \right)} \right)$ , με $\displaystyle {x_1} \cdot {x_2} \ne 0$ , δύο διαφορετικά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $\displaystyle f$ τέτοια, ώστε το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle {\rm A}{\rm B}$ να διέρχεται από την αρχή των αξόνων $\displaystyle {\rm O}\left( {0,0} \right)$ . Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της $\displaystyle f$ στα σημεία $\displaystyle {\rm A}$ και $\displaystyle {\rm B}$ είναι παράλληλες.
Μονάδες 4

Έστω $\displaystyle y = \lambda x$ η ευθεία που ορίζουν τα A,B

, με $\displaystyle {x_1} \ne {x_2}$ .

Τότε $\displaystyle x_2^3 + 2{x_2} = \lambda {x_2} \Leftrightarrow x_2^2 = \lambda - 2$ και $\displaystyle x_1^3 + 2{x_1} = \lambda {x_1} \Leftrightarrow x_1^2 = \lambda - 2$ , οπότε $\displaystyle x_1^2 = x_2^2 \Leftrightarrow {x_1} = - {x_2}$ .

Είναι $\displaystyle f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2$ , οπότε $\displaystyle f'\left( {{x_1}} \right) = f'\left( { - {x_1}} \right) = f'\left( {{x_2}} \right)$ άρα οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της $\displaystyle f$ στα σημεία $\displaystyle {\rm A}$ και $\displaystyle {\rm B}$ είναι παράλληλες.

ΣΧΟΛΙΟ: Μπορεί, βεβαίως να αξιοποιηθεί η παρατήρηση ότι η συνάρτηση είναι περιττή.

Γ3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle r\left( x \right) = \left( {f \circ g} \right)\left( x \right) - 2g\left( x \right)$ αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.
Μονάδες 7

Για κάθε $x \in R$ είναι $\displaystyle r\left( x \right) = \left( {f \circ g} \right)\left( x \right) - 2g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x - 1} \right)^3}$

Για κάθε $\displaystyle {x_1},\;{x_2} \in R$ με $\displaystyle {x_1} \ne {x_2}$ είναι $\displaystyle {x_1} - 1 \ne {x_2} - 1 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - 1} \right)^3} \ne {\left( {{x_2} - 1} \right)^3} \Leftrightarrow r\left( {{x_1}} \right) \ne r\left( {{x_2}} \right)$ ,
οπότε η r(x)

είναι

.

Έστω $\displaystyle y \in R$ με $\displaystyle y = {\left( {x - 1} \right)^3} \Leftrightarrow x = \left\{ \begin{array}{l} 1 - \sqrt[3]{{ - y}},\;\;y < 0\\ 1 + \sqrt[3]{y},\;\;y \ge 0 \end{array} \right.$

Οπότε $\displaystyle {r^{ - 1}}\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1 - \sqrt[3]{{ - x}},\;\;x < 0\\ 1 + \sqrt[3]{x},\;\;x \ge 0 \end{array} \right.$

Γ4. Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς $\alpha$ , $\beta$ για τους οποίους ισχύουν:
${\alpha ^3} - 3{\alpha ^2} + 5\alpha + 3 = 0$ και ${\beta ^3} - 3{\beta ^2} + 5\beta - 9 = 0$
Να αποδείξετε ότι $\alpha < 0 < \beta$ και στη συνέχεια ότι η εξίσωση $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = \alpha \beta x$ έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ .
Μονάδες 10

Είναι ${\alpha ^3} - 3{\alpha ^2} + 5\alpha + 3 = 0 \Leftrightarrow {\alpha ^3} - 3{\alpha ^2} + 5\alpha - 3 = - 6\, \Leftrightarrow \left( {f \circ g} \right)\left( \alpha \right) = - 6$
και ${\beta ^3} - 3{\beta ^2} + 5\beta - 9 = 0 \Leftrightarrow {\beta ^3} - 3{\beta ^2} + 5\beta - 3 = 6\; \Leftrightarrow \left( {f \circ g} \right)\left( \beta \right) = 6$

Η $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)$ είναι παραγωγίσιμη με ${\left( {f \circ g} \right)^\prime }\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 5$ .

Η διακρίνουσα του τριωνύμου $3{x^2} - 6x + 5$ είναι αρνητική, άρα είναι $3{x^2} - 6x + 5 > 0$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ , οπότε η συνάρτηση $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)$ είναι γνησίως αύξουσα στο R .

Είναι $\left( {f \circ g} \right)\left( 0 \right) = - 3$ , οπότε $\begin{array}{l} \left( {f \circ g} \right)\left( \alpha \right) < \left( {f \circ g} \right)\left( 0 \right) \Leftrightarrow \alpha < 0\\ \left( {f \circ g} \right)\left( \beta \right) > \left( {f \circ g} \right)\left( 0 \right) \Leftrightarrow \beta > 0 \end{array}$
Άρα $\alpha < 0 < \beta$ .

Έστω $k\left( x \right) = \left( {f \circ g} \right)\left( x \right) - \alpha \beta x$ , παραγωγίσιμη στο

.

Είναι $k\left( \alpha \right) \cdot k\left( \beta \right) = \left( {\left( {f \circ g} \right)\left( \alpha \right) - {\alpha ^2}\beta } \right)\left( {\left( {f \circ g} \right)\left( \beta \right) - \alpha {\beta ^2}} \right) = \left( { - 6 - {\alpha ^2}\beta } \right)\left( {6 - \alpha {\beta ^2}} \right) < 0$ , αφού $- 6 - {\alpha ^2}\beta < 0,\;\;6 - \alpha {\beta ^2} > 0$ , οπότε, σύμφωνα με το Θεώρημα του Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον ένα ${x_0} \in \left( {\alpha ,\;\beta } \right)$ , τέτοιο ώστε $k\left( {{x_0}} \right) = 0$ .

Είναι $k'\left( x \right) = {\left( {f \circ g} \right)^\prime }\left( x \right) - \alpha \beta = 3{x^2} - 6x - 5 - \alpha \beta > 0$ , αφού $\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} - 6x + 5 > 0\\ - \alpha \beta > 0 \end{array} \right.$ , οπότε η k(x)

είναι γνησίως αύξουσα, άρα ”1-1”

, οπότε η ρίζα είναι μοναδική.

hlkampel · #7

Γ4. Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς \alpha , \beta για τους οποίους ισχύουν:
${\alpha ^3} - 3{\alpha ^2} + 5\alpha + 3 = 0$ και ${\beta ^3} - 3{\beta ^2} + 5\beta - 9 = 0$
Να αποδείξετε ότι $\alpha < 0 < \beta$

Μια άλλη αντιμετώπιση για το πρώτο μέρος του Γ4.

Ισχύει ${x^2} - 3x + 5 > 0$ για κάθε $x \in R$ αφού έχει διακρίνουσα $\Delta = - 11 < 0$

Έτσι: ${\alpha ^3} - 3{\alpha ^2} + 5\alpha + 3 = 0 \Leftrightarrow \alpha \left( {{\alpha ^2} - 3\alpha + 5} \right) = - 3\,\,\left( 1 \right)$

Αφού ισχύει η $\left( 1 \right)$ και ${\alpha ^2} - 3\alpha + 5 > 0$ θα είναι $\alpha < 0$

Ομοίως: ${\beta ^3} - 3{\beta ^2} + 5\beta = 9 \Leftrightarrow \beta \left( {{\beta ^2} - 3\beta + 5} \right) = 9 \Leftrightarrow \beta > 0$

Άρα $\alpha < 0 < \beta$

#8

Πολύ ωραίος ο τρόπος με τον οποίο είναι δομημένο το διαγώνισμα και τα θέματα.
Το θέμα Γ βασίζεται σε ένα παλιό πρόβλημα από τις Πανενωσιακές.
Εκεί η εκφώνηση του θέματος είναι να δίνονται οι δύο σχέσεις

hlkampel έγραψε: ↑
Τρί Απρ 02, 2019 8:51 pm
Γ4. Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς \alpha , \beta για τους οποίους ισχύουν:
${\alpha ^3} - 3{\alpha ^2} + 5\alpha + 3 = 0$ και ${\beta ^3} - 3{\beta ^2} + 5\beta - 9 = 0$

και να ζητάμε το άθροισμα $\alpha+\beta$ . Πράγματι και εδώ μπορούμε να το βρούμε γιατί
όπως δείχθηκε παραπάνω $f(\alpha-1)=-6=-f(\beta-1)=f(1-\beta)$ , λόγω του ότι η

είναι περιττή, οπότε λόγω της μονοτονίας,
$\alpha-1=1-\beta$ , οπότε $\alpha+\beta=2$ .

KARKAR · #9

Γ4. Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς a , b

για τους οποίους ισχύουν:

a^3-3a^2+5a+3=0

και

. Να αποδείξετε ότι : a<0<b

Αλλιώς : Για τη συνάρτηση : t(x)=x^3-3x^2+5x

, είναι

,

και

Αλλά :

, οπότε η

είναι γνησίως αύξουσα , άρα : a<0<b

.

#10

Υποδειγματικό διαγώνισμα!

Εκφωνήσεις + Λύσεις:
https://srv-dide.tri.sch.gr/sxsymboyloi ... lyseis.pdf

Τσιαλας Νικολαος · #11

Καλημέρα και χρόνια πολλά σε όλους για την μέρα! Θα συμφωνήσω με όλους! Υπέροχο διαγώνισμα... Το έχω κρατήσει από την πρώτη μέρα που αναρτήθηκε. Πολλά μπράβο στο δημιουργό του!!

΄Ενα εξαιρετικό διαγώνισμα από τον Δημήτρη Ντρίζο.

΄Ενα εξαιρετικό διαγώνισμα από τον Δημήτρη Ντρίζο.

Re: ΄Ενα εξαιρετικό διαγώνισμα από τον Δημήτρη Ντρίζο.

Re: ΄Ενα εξαιρετικό διαγώνισμα από τον Δημήτρη Ντρίζο.

Re: ΄Ενα εξαιρετικό διαγώνισμα από τον Δημήτρη Ντρίζο.

Re: ΄Ενα εξαιρετικό διαγώνισμα από τον Δημήτρη Ντρίζο.

Re: ΄Ενα εξαιρετικό διαγώνισμα από τον Δημήτρη Ντρίζο.

Re: ΄Ενα εξαιρετικό διαγώνισμα από τον Δημήτρη Ντρίζο.

Re: ΄Ενα εξαιρετικό διαγώνισμα από τον Δημήτρη Ντρίζο.

Re: ΄Ενα εξαιρετικό διαγώνισμα από τον Δημήτρη Ντρίζο.

Re: ΄Ενα εξαιρετικό διαγώνισμα από τον Δημήτρη Ντρίζο.

Re: ΄Ενα εξαιρετικό διαγώνισμα από τον Δημήτρη Ντρίζο.

Μέλη σε σύνδεση