Ορισμένο ολοκλήρωμα

petrosqw · #1

Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,1]

με

στο

Να αποδείξετε ότι:

Α) $f(x)\leq f(0)+x$ , $x\in [0,1]$

Β) $\int_{0}^{1}f(x)d(x)\leq \frac{1}{2}+f(0)$

Γ)Αν f(0)+1=0

,να αποδείξετε ότι η εξίσωση
$1+\int_{0}^{x}f(t)d(t)=x$ έχει ακριβώς μια ρίζα στο (0,1)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

petrosqw έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 16, 2019 4:49 pm
Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα με στο
Να αποδείξετε ότι:

Α) $f(x)\leq f(0)+x$ , $x\in [0,1]$

Β) $\int_{0}^{1}f(x)d(x)\leq \frac{1}{2}+f(0)$

Γ)Αν ,να αποδείξετε ότι η εξίσωση
$1+\int_{0}^{x}f(t)d(t)=x$ έχει ακριβώς μια ρίζα στο

Εκτός του ότι είναι σε άσχετο φάκελλο
η άσκηση έχει πολλά προβλήματα .

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 16, 2019 6:54 pm
Εκτός του ότι είναι σε άσχετο φάκελλο
η άσκηση έχει πολλά προβλήματα .

Σωστά. H

είναι αντιπαράδειγμα σε όλα.

Ο λόγος που γράφω είναι άλλος: Επειδή μας διαβάζουν μαθητές, θέλω να επισημάνω ότι έχουμε και αδόκιμη χρήση
συμβόλου. Καλό είναι να ακολουθούμε με ευλάβεια τα καθιερωμένα σύμβολα.

petrosqw έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 16, 2019 4:49 pm

$\int_{0}^{1}f(x) \color {red}{d(x)}$

$1+\int_{0}^{x}f(t)\color {red} {d(t)}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Αφού είναι στο σωστό φάκελο την γράφω σωστά.

Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,1]

με

στο

Να αποδείξετε ότι:

Α) $f(x)\leq f(0)+x$ , $x\in [0,1]$

Β) $\int_{0}^{1}f(x)dx\leq \frac{1}{2}+f(0)$

Γ)Αν f(0)+1=0

,να αποδείξετε ότι η εξίσωση

$1+\int_{0}^{x}f(t)dt=x$ έχει ακριβώς μια ρίζα στο (0,1)

Συμπλήρωμα.
Ειχα ξεχάσει να διορθώσω τους συμβολισμούς στα ολοκληρώματα.
Ευχαριστώ τον Λάμπρο Κατσάπα που μου το θύμισε.

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 17, 2019 12:57 pm

Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα με στο

Να αποδείξετε ότι:

Α) $f(x)\leq f(0)+x$ , $x\in [0,1]$

Β) $\int_{0}^{1}f(x)dx\leq \frac{1}{2}+f(0)$

Γ)Αν ,να αποδείξετε ότι η εξίσωση

$1+\int_{0}^{x}f(t)dt=x$ έχει ακριβώς μια ρίζα στο

Για να κλείνει (στάνταρ άσκηση, χωρίς φαντασία).

α) $f(x)-f(0)= f'(\xi)(x-0)<1 \cdot x$

β) Ολοκληρώνουμε από

έως

την α).

γ) Για την $F(x)=1+\int_{0}^{x}f(t)dt-x$ έχουμε F(0)= 1>0

, και $F(1)=1+\int_{0}^{1}f(t)dt-1 \leq \frac{1}{2}+f(0)= -\frac{1}{2}<0$ άρα έχουμε ρίζα.
Αλλά $F'(x)=f(x)-1\leq f(0)+x-1=-2+x\le -2+1=-1<0$ , άρα

γνήσια φθίνουσα (μοναδική ρίζα).

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση