Συμμετρική συνάρτηση

abgd · #1

Έστω $\displaystyle{s\in \mathbb{R}, \ \ a>0}$ και η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:[s-a,s+a]\to \mathbb{R}}}$ ,
για την οποία γνωρίζουμε ότι:

$\displaystyle{\boxed{f(s-x)+f(s+x)=2f(s), \ \ \forall x \in [0,a]} \bf(1)}$

η $\displaystyle{f ' ' }$ είναι συνεχής και έχει μοναδική ρίζα στο $\displaystyle{(s-a,s+a)}$

Να αποδειχθούν οι παρακάτω ιδιότητες.

Ι1.Η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ με $\displaystyle{g(x)=f(s+x)-f(s)}$ είναι περιττή.

Ι2. Το συμμετρικό του σημείου $\displaystyle{M\left(x,f(x)\right)}$ της $\displaystyle{C_f}$ ως προς το $\displaystyle{S\left(s,f(s)\right)}$ είναι σημείο της $\displaystyle{C_f}$ . Η $\displaystyle{C_f}$ έχει κέντρο συμμετρίας το $\displaystyle{S$ .

Ι3. Το σημείο $\displaystyle{S\left(s,f(s)\right)}$ είναι το μοναδικό σημείο καμπής της $\displaystyle{C_f}$ .

Ι4. $\displaystyle{A,B}$ διαφορετικά συμμετρικά σημεία της $\displaystyle{C_f}$ αν και μόνο αν οι εφαπτομένες της $\displaystyle{C_f}$ στα $\displaystyle{A,B}$ είναι παράλληλες.

Ι5. Αν $\displaystyle{A,B}$ δύο διαφορετικά συμμετρικά σημεία της $\displaystyle{C_f}$ τότε υπάρχουν δύο ακριβώς εφαπτομένες της $\displaystyle{C_f}$ παράλληλες στην ευθεία $\displaystyle{AB}$ .

Ι6. Αν η $\displaystyle{f}$ έχει τοπικό μέγιστο σε σημείο του διαστήματος $\displaystyle{(s,s+a)}$ το $\displaystyle{2f(s)}$ και $\displaystyle{f(s+a)=0}$ ,
το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ είναι το $\displaystyle{[0,2f(s)]}$ .

Ι7. Αν η $\displaystyle{f}$ δεν έχει τοπικό ακρότατο στο $\displaystyle{(s-a,s+a)}$ , τότε είναι γνησίως μονότονη.

Ι8. $\displaystyle{\int_{s-t}^{s+t}{f(x)dx=2tf(s)}$ , με $\displaystyle{t\in[0,a]}$

Ι9. Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ δεν έχει τοπικό ακρότατο στο $\displaystyle{(s-a,s+a)}$

α) Υπάρχει $\displaystyle{b>0}$ ώστε το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ να είναι συμμετρικό ως προς το $\displaystyle{f(s)}$ . Δηλαδή $\displaystyle{f(A)= [f(s)-b,f(s)+b]}$ .

β) Η αντίστροφη της $\displaystyle{f}$ είναι συμμετρική: Ισχύει $\displaystyle{f^{-1}\left(f(s)-y\right)+f^{-1}\left(f(s)+y\right)=2s, \ \ \forall y \in [0,b]}$ .

Σημείωση: Ένα θέμα που καλύπτει αρκετή από την ύλη της Γ΄ Λυκείου. Αν θέλετε μπορείτε να προσθέσετε επιπλέον ιδιότητες.

Edit 14/12/2023 17.30: Συμπλήρωσα το Ι9.

BAGGP93 · #2

Καλημέρα, νόμιζω η (1) πρέπει να δοθεί στο $\left[-a,a\right].$

abgd · #3

BAGGP93 έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 14, 2023 1:11 pm
Καλημέρα, νόμιζω η (1) πρέπει να δοθεί στο $\left[-a,a\right].$

Βαγγέλη η σχέση $\displaystyle{f(s-x)+f(s+x)=2f(s)}$ ισχύει και $\displaystyle{\forall x\in [-a,0]}$ αφού

$\displaystyle{\forall x\in [-a,0]}$ είναι $\displaystyle{-x\in [0,a]}$ οπότε $\displaystyle{f(s-(-x))+f(s+(-x))=\boxed{f(s+x)+f(s-x)=2f(s)}}$

BAGGP93 · #4

Κάνω την αρχή με τα δύο πρώτα (γενικά παίζει πολύ γράψιμο για αυτή την άσκηση, οπότε ας μοιραστεί κάπως).

Ι1. Η συνάρτηση

ορίζεται στο συμμετρικό περί του

διάστημα $\left[-a,a\right]$ και έχουμε

$\displaystyle{g(-x)=f(s-x)-f(s)\stackrel{(1)}{=}f(s)-f(s+x)=-g(x),\,\,\forall\,x\in\left[-a,a\right].}$

I2. Έστω $N(z,w),\,z\in\left[s-a,s+a\right],$ το συμμετρικό του $M(x,f(x))\in C_{f}$ ως προς τo S(s,f(s)).

Τότε έχουμε

$x+z=2\,s$ καθώς και f(x)+w=2f(s)

, οπότε προκύπτει ότι

$\displaystyle{w=2f(s)-f(x)=2f(s)-f(2s-z)=2f(s)-f(s+(s-z))=f(s-(s-z))=f(z),}$ οπότε

$N(z,w)=N(z,f(z))\in C_{f}$

BAGGP93 · #5

I3. Αφού η $f^{\prime \prime}$ είναι συνεχής με μοναδική ρίζα, έστω $x_0\in\left(s-a,s+a\right),$ διατηρεί σταθερό πρόσημο στα $\left(s-a,x_0\right)$ και $\left(x_0,s+a\right).$

Άρα στο x_0

έχει καμπή. Δε μπορεί να έχει σε άλλο σημείο $x_1\neq x_0$ διότι από γνωστό θεώρημα $\,f^{\prime \prime}(x_1)= 0,$ άτοπο.

Τέλος αν παραγωγίσουμε την (1) δύο φορές προκύπτει $f^{\prime \prime}(s+x)+f^{\prime \prime}(s-x)=0,\,\,x\in\left[0,a\right]$ όπου για x=0

προκύπτει

$f^{\prime \prime}(s)=0\implies x_0=s.$

I8. Έστω $t\in\left[0,a\right].$ Θέτουμε

$\displaystyle{I_1=\int_{0}^{t}f(s-x)dx,\,\,I_2=\int_{0}^{t}f(s+x)dx.}$

Στο I_1

κάνουμε αντικατάσταση u=s-x

ενώ στο ολοκλήρωμα I_2

κάνουμε αντικατάσταση y=s+x

και προκύπτουν:

$\displaystyle{I_1=-\int_{s}^{s-t}f(u)du=\int_{s-t}^{s}f(u)du}$ και

$\displaystyle{I_2=\int_{s}^{s+t}f(y)dy=\int_{s}^{s+t}f(u)du}$

Ολοκληρώνοντας την (1) στο $\left[0,t\right]$ έχουμε

$\displaystyle{I_1+I_2=2\,t f(s)\implies \int_{s-t}^{s+t}f(u)du=2\,t\,f(s).}$

abgd · #6

Ευχαριστώ τον Βαγγέλη για τις απαντήσεις.

Στο συνημμένο αρχείο η άσκηση με τις απαντήσεις....

Συμμετρική συνάρτηση.pdf: (244.8 KiB) Μεταφορτώθηκε 59 φορές

Συμμετρική συνάρτηση

Συμμετρική συνάρτηση

Re: Συμμετρική συνάρτηση

Re: Συμμετρική συνάρτηση

Re: Συμμετρική συνάρτηση

Re: Συμμετρική συνάρτηση

Re: Συμμετρική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση