ΑΣΚΗΣΗ ... πονηρή.

magkiora · #1

Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις $f: R \rightarrow R$ και $g: R \rightarrow R$ , με την f γνησίως φθίνουσα, για τις οποίες ισχύει: $f\left(g\left(x \right) \right) = g\left(f\left(x \right) \right)$ για κάθε $x \epsilon R$ . Nα δείξετε ότι η εξίσωση $f\left(x \right) = g\left(x \right)$ έχει τουλάχιστον μία πραγματική λύση.

lonis · #2

Αν, αντίθετα, η εξίσωση δεν είχε λύση, θα είχαμε $f(x)-g(x)\neq 0$ στο R.

H f-g είναι συνεχής και δε μηδενίζεται οπότε διατηρεί πρόσημο στο R.

Αν είναι πχ. f(x)-g(x)> 0

δηλαδή

, τότε θα έχουμε και f(f(x))<f(g(x))

αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα. Η τελευταία γράφεται και f(f(x))<g(f(x))

στο R, που αντιφάσκει με την f(x)>g(x)

στο R. Όμοια αν παίρναμε f(x)-g(x)< 0

.

Λεωνίδας Θαρραλίδης

ΑΣΚΗΣΗ ... πονηρή.

ΑΣΚΗΣΗ ... πονηρή.

Re: ΑΣΚΗΣΗ ... πονηρή.

Μέλη σε σύνδεση