Η αλγεβρική δεξιότητα

KARKAR · #1

: Η δεξιότητα στις αλγεβρικές πράξεις.png (13.57 KiB) Προβλήθηκε 1447 φορές

Από σημείο

, το οποίο κινείται στην προέκταση της διαμέτρου

του βορείου ημικυκλίου x^2+y^2=4

, φέρουμε

εφαπτόμενο τμήμα

, το οποίο προεκτείνουμε κατά τμήμα MS=TM

. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 03, 2025 3:41 pm
Η δεξιότητα στις αλγεβρικές πράξεις.pngΑπό σημείο , το οποίο κινείται στην προέκταση της διαμέτρου του βορείου ημικυκλίου , φέρουμε

εφαπτόμενο τμήμα , το οποίο προεκτείνουμε κατά τμήμα . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του .

Αν

, όπου

, η κλίση της

είναι $\dfrac {b}{a}$ . Άρα η ευθεία

, ως κάθετη της

, είναι η $y-b=-\dfrac {a}{b}(x-a)$ .

Θέτοντας y=0

βρίσκουμε ότι το

έχει τετμημένη $\dfrac {a^2+b^2}{a}= \dfrac {4}{a}$ , δηλαδή είναι το $T\left (\dfrac {4}{a},0\right)$ .

Έστω S(x,y)

. Αφού το

είναι το μέσον του

έχουμε $x+\dfrac {4}{a} = 2a,\, y+0=2b$

H πρώτη δίνει $a= \dfrac {x\pm \sqrt {x^2+32}}{4}$ (κρατάμε το "πλην" διότι a<0

). Η δεύτερη δίνει $b= \dfrac {y}{2}$ , οπότε από την a^2+b^2=4

έχουμε

$\left (\dfrac {x- \sqrt {x^2+32}}{4} \right) ^2+\left (\dfrac {y}{2}\right )^2 =4$ ή αλλιώς

$\boxed {\left(x-\sqrt {x^2+32}\right) ^2+4y^2=64, \, y>0}$

KARKAR · #3

Άψογα ! Μπορούμε να γράψουμε το αποτέλεσμα σαν συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{\dfrac{x\sqrt{x^2+32}-x^2+16}{2}$ ,

μια μορφή οικεία στο μαθητικό περιβάλλον . Παρατηρούμε ότι εύκολα γεωμετρικά και κάπως δυσκολότερα

αλγεβρικά , διαπιστώνουμε ότι η καμπύλη μας έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$ , την ευθεία : y=4

.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 03, 2025 8:41 pm
Άψογα ! Μπορούμε να γράψουμε το αποτέλεσμα σαν συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{\dfrac{x\sqrt{x^2+32}-x^2+16}{2}$ ,

μια μορφή οικεία στο μαθητικό περιβάλλον . Παρατηρούμε ότι εύκολα γεωμετρικά και κάπως δυσκολότερα

αλγεβρικά , διαπιστώνουμε ότι η καμπύλη μας έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$ , την ευθεία : .

Ας το δούμε αλγεβρικά: Αρκεί η μελέτη του

$\displaystyle{ x\sqrt{x^2+32}-x^2 = \dfrac {(x\sqrt{x^2+32}-x^2) (x\sqrt{x^2+32}+x^2)}{x\sqrt{x^2+32}+x^2}= }$

$\displaystyle{= \dfrac {x^2(x^2+32)-x^4}{x\sqrt{x^2+32}+x^2}= \dfrac {32x^2}{x\sqrt{x^2+32}+x^2}= \dfrac {32}{\sqrt{1+\dfrac {32}{x^2}}+1} \to \dfrac {32}{\sqrt{1+0}+1} = 16}$

Οπότε το δοθέν τείνει στο $\sqrt{\dfrac{16+16}{2}}=4$ , όπως θέλαμε.

Η αλγεβρική δεξιότητα

Η αλγεβρική δεξιότητα

Re: Η αλγεβρική δεξιότητα

Re: Η αλγεβρική δεξιότητα

Re: Η αλγεβρική δεξιότητα

Μέλη σε σύνδεση