Θ.Μ.Τ. και όρια

dregklis · #1

H f είναι παραγωγίσιμη στο [0,+ $\infty$ ) με την f΄ συνεχή
Αν $\lim_{x\rightarrow+\infty} f'(x) = + \infty$ αποδείξτε ότι $\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x) = + \infty$

Πώς λύνεται με την χρήση Θ.Μ.Τ. ?

Ευχαριστώ εκ των προτέρων

mathxl · #2

Επειδή το όριο της παραγώγου στο $+ \infty$ ισούται με $+ \infty$ , σημαινει ότι για τα πολύ μεγάλα

(κοντά στο $+ \infty$ ) η παράγωγος είναι θετική (με πάρα πολύ μεγάλες τιμές.
Δηλαδή αν M > 0

ένας πολύ μεγάλος θετικός αριθμός είναι $\displaystyle{f'\left( x \right) > M}$

Πράγματι από ιδιότητες ορίων και διάταξης αυτών, έχουμε
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f'\left( x \right) - M} \right] = + \infty }$
άρα κοντά στο +οο είναι $\displaystyle{f'\left( t \right) - M > 0}$ και μάλιστα για κάθε θετικό αριθμό Μ που θα σκεφτούμε
Συνεπώς σε μια περιοχή του απείρου $\left[ {\alpha , + \infty } \right)$ είναι
$\displaystyle{f'\left( t \right) > M \Rightarrow f\left( t\right) - f\left( \alpha \right) > \int\limits_\alpha ^x {Mdt} \Rightarrow f\left( x \right) > Mx - M\alpha + f\left( \alpha \right)}$
και λαμβάνοντας όρια στο $+ \infty$ .
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = + \infty }$

dregklis · #3

Ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκριση

#4

ή αλλιώς αν δεν θέλουμε τα ολοκληρώματα

$\displaystyle{f'(x)>M>0 , \forall x>a}$
$\displaystyle{f(x)=f(a)+(x-a)f'(\xi),\xi>a}$
$\displaystyle{\xi>a \Rightarrow f'(\xi)>M \Rightarrow f(x)>M(x-a)+f(a) \Rightarrow \lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty}$

harinho7 · #5

Σάν εφαρμογή
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{F:R \to R}$ , ώστε $\displaystyle{F'\left( x \right) = {e^{{x^2}}}}$ για κάθε πραγματικό αριθμό x. Να βρεθεί το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{xF\left( x \right)}}{{{e^{{x^2}}}}}}$
Ευχαριστώ τον mathxl για την γραφή σε LATEX
Φιλικά Χάρης

Θ.Μ.Τ. και όρια

Θ.Μ.Τ. και όρια

Re: Θ.Μ.Τ. και όρια

Re: Θ.Μ.Τ. και όρια

Re: Θ.Μ.Τ. και όρια

Re: Θ.Μ.Τ. και όρια

Μέλη σε σύνδεση