Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

#1

Δεν ξέρω για εσάς, αλλά το φετινό τέταρτο θέμα του ΟΕΦΕ μου άρεσε πάρα πολύ.
Το παραθέτω για να δώσετε τις λύσεις σας και να δώσουμε και τις δικές μας απλά
για να το έχουμε στη συλλογή μας.
Θα το δώσω ερώτημα-ερώτημα, έτσι ώστε να προλαβαίνει όποιος θέλει να δίνει τη λύση του.
Ξεκινάω, καλή διασκέδαση σε όποιον ασχοληθεί.

Η συνάρτηση

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με:

$\displaystyle{\int\limits_0^{g''(x)} {2{t^2}{e^{{t^2}}}} dt < g''(x){e^{{{\left[ {g''(x)} \right]}^2}}} - g''(x),}$ για κάθε

στο $\mathbb{R}$

Δ1. Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{g'}$ είναι γνησίως αύξουσα.

#2

chris_gatos έγραψε: Δ1. Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{g'}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Η δική μου λύση:

Έχω:

$\displaystyle{\int\limits_0^{g''(x)} {2{t^2}{e^{{t^2}}}} dt = \int\limits_0^{g''(x)} {t\left( {{e^{{t^2}}}} \right)'dt} = \left[ {t{e^{{t^2}}}} \right]_0^{g''(x)} - \int\limits_0^{g''(x)} {{e^{{t^2}}}} dt = g''(x){e^{{{\left[ {g''(x)} \right]}^2}}} - \int\limits_0^{g''(x)} {{e^{{t^2}}}} dt}$

επομένως η δοθείσα γίνεται:

$\displaystyle{g''(x){e^{{{\left[ {g''(x)} \right]}^2}}} - \int\limits_0^{g''(x)} {{e^{{t^2}}}} dt < g''(x){e^{{{\left[ {g''(x)} \right]}^2}}} - g''(x) \Leftrightarrow \int\limits_0^{g''(x)} {{e^{{t^2}}}} dt > g''(x),x \in \mathbb{R}}$

Θεωρώ τη συνάρτηση

με τύπο: $\displaystyle{t(x) = \int\limits_0^x {{e^{{t^2}}}} dt - x,x \in \mathbb{R}}$

συνεχής και παραγωγίσιμη στους πραγματικούς με $\displaystyle{t'(x) = {e^{{x^2}}} - 1 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}}$ αφού $\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}$

με την ισότητα να ισχύει μόνο για x=0

. Επομένως η

είναι γνησίως αύξουσα στους πραγματικούς.

Η σχέση που είχα καταλήξει είναι ισοδύναμη με την:

$\displaystyle{t(g''(x)) > t(0) \Leftrightarrow g''(x) > 0,\forall x \in \mathbb{R}}$ επομένως η

είναι γνησίως αύξουσα στους πραγματικούς. (δηλ η

είναι κυρτή συνάρτηση στους πραγματικούς.)

Σημείωση: Με την άσκηση ασχολήθηκα χτες το μεσημέρι. Θα περιμένω και άλλες προτάσεις λύσεων για το ερώτημα αυτό κι έπειτα θα πάω παρακάτω.

Tolaso J Kos · #3

chris_gatos έγραψε:
Η συνάρτηση g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με:

$\displaystyle{\int\limits_0^{g''(x)} {2{t^2}{e^{{t^2}}}} dt < g''(x){e^{{{\left[ {g''(x)} \right]}^2}}} - g''(x),}$ για κάθε στο $\mathbb{R}$

Δ1. Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{g'}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Χρήστο θα μου επιτρέψεις να απαντήσω το πρώτο ερώτημα, καθώς ήταν το μοναδικό που μου άρεσε.
Εφαρμόζουμε παράγοντες και έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{g''(x)}t\left ( e^{t^2} \right )'dt<g''(x)e^{[g''(x)]^2}-g''(x) &\iff \left [ te^{t^2} \right ]_0^{g''(x)}<g''(x) e^{[g''(x)]^2}-g''(x)\\ &\iff g''(x)e^{[g''(x)]^2}-\int_{0}^{g''(x)}e^{t^2}dt<g''(x)e^{[g''(x)]^2}-g''(x) \\ &\iff \int_{0}^{g''(x)}e^{t^2}dt>g''(x) \\ &\iff \int_{0}^{g''(x)}e^{t^2}>\int_{0}^{g''(x)}dt \end{aligned}}$

Η τελευταία σχέση δίνει: $\displaystyle{\int_{0}^{g''(x)}(e^{t^2}-1)dt>0}$ . Όμως $\displaystyle{e^{t^2}-1\geq 0}$ .
Άρα η $\displaystyle{g''}$ δεν είναι μη θετική, αφού τότε καταλήγαμε σε άτοπο. Οπότε g''>0

άρα

γνήσια αύξουσα.

κ. Χρήστο μόλις είδα ότι βάλατε λύση. Δε πειράζει, το αφήνω για το κόπο και για το διαφορετικό της λύσης που τώρα το είδα.

PanosG · #4

Πραγματικά ωραίο θέμα και εμένα μου άρεσε. Η πρώτη λύση που σκέφτηκα όταν το έλυνα είναι η παρακάτω.
Λύνοντας το με μαθητές προέκυψε και μια πιο απλή με κατά παράγοντες που θα γράψω αργότερα.

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=te^{t^2}-t}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}$ με $\displaystyle{h'(x)=e^{t^2}+2t^2e^{t^2}-1}$
Οπότε

$\displaystyle{\int_0^{g''(x)} h'(t)dt=\left [ h(t) \right ]_0^{g''(x)}=h(g''(x))=g''(x)e^{{g''(x)}^{2}}-g''(x)}$

Άρα η δοσμένη σχέση γίνεται:

$\displaystyle{\int_0^{g''(x)} 2t^2e^{t^2} dt<\int_0^{g''(x)} \left (e^{t^2}+2t^2e^{t^2}-1\right) dt\Leftrightarrow \int_0^{g''(x)}\left ( 2t^2e^{t^2}-e^{t^2}-2t^2e^{t^2}+1\right) dt \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\int_0^{g''(x)} \left (1-e^{t^2} \right ) dt <0 \quad \boxed{1}}$

Όμως $\displaystyle{\forall t\in \mathbb{R} \,\,\, t^2 \geq 0 \Leftrightarrow e^{t^2} \geq 1\Leftrightarrow 1-e^{t^2} \leq 0}$

Οπότε με τις κατάλληλες δικαιολογήσεις για να ισχύει η $\boxed{1}, \forall x\in \mathbb{R}$ θα πρέπει $\displaystyle{g''(x)>0}$

#5

Χρήστο, σε πολύ πιο απλή μορφή , πάνω στο ίδιο συμπέρασμα με το τελείωμα της άσκησης , είναι και το φετινό Δ2.

Όπως έγραψα και πέρυσι,μετά το Β3, πυροτεχνήματα στις εξετάσεις δεν θα δούμε ίσως για πολλά χρόνια. Τα θέματα θα περιστρέφονται γύρω στις καλές και ωραίες ιδέες, χωρίς ποτέ να είναι εύκολα . Το αντικείμενο '' Μαθηματικά Κατεύθυνσης '' είναι ασκησεογικά εξαντλημένο !

Όσοι το καταλάβουν και εργαστούν πάνω σε γνωστούς δρόμους, θα έχουν επιτυχίες . Όσοι συνεχίσουν να ψάχνουν ή να διδάσκουν φαντάσματα όπως το Β3, θα μείνουν στο τέλος χωρίς μαθητές. Ας επιλέξουν ό,τι θέλουν, εμείς όμως τους τα λέμε !

Και για να προσφέρουμε κάτι από την εμπειρία μας στους πολύ απαιτητικούς αναγνώστες , θα έλεγα ότι τέλη Μαρτίου ενδείκνυται να δείξουν στους μαθητές τους και το ΘΜΤ για τα ολοκληρώματα. Είναι έτσι κι αλλιώς τόσο εύκολο στην εκμάθησή του και στην εφαρμογή του που δεν κοστίζει τίποτα !!!

Για τον καλό μαθητή αυτό είναι ένα άριστο εργαλείο που και το θέμα που έθεσες το κάνει απλή εφαρμογή στο τελευταίο και δύσκολο στάδιο.Πλήθος δε άλλων ασκήσεων, υπαρξιακών ή ανισοτικών που είναι ο φόβος και ο τρόμος στις εξετάσεις και μεις τις λύνουμε με βοηθητικές συναρτήσεις και αρχικές , γίνονται πολύ εύκολη υπόθεση !

Μπάμπης

Christos.N · #6

Θεωρώντας την συνάρτηση: $\int_{0}^{x}{2t^2e^{t^2}}dt -xe^{x^2}+x, x\in R$ και μελετώντας την μονοτονία της.

#7

Ωραία πάμε παρακάτω! Ευχαριστώ για τις προτάσεις λύσεων. Αν κάποιος θελήσει να δώσει τη δική του λύση σε παραπάνω ερώτημα, ας το κάνει με παράθεση για
να μη δημιουργείται κομφούζιο.

Δ2. Να αποδείξετε με έξτρα δεδομένα τα $\displaystyle{g(2) = - 2,\int\limits_{ - 2}^{g(0)} {{e^{{t^2}}}} dt \cdot \int\limits_{ - 2}^{g(1)} {{e^{{t^2}}}} dt < 0}$

ότι υπάρχει $\displaystyle{\rho \in \left( {0,1} \right)}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{g(\rho ) = - 2}$ και $\displaystyle{g'(\rho ) < 0 < g'(2)}$ .

Συγνώμη για την αβλεψία, ξέχασα τα έξτρα δεδομένα!

#8

Η δική μου λύση:

Αποκλείεται g(0)=g(1)

ούτε κάποιο από αυτά μπορεί να ισούται με

, λόγω της δοθείσας συνθήκης. Επειδή $\displaystyle{{e^{{t^2}}} > 0}$ και το γινόμενο των ολοκληρωμάτων είναι αρνητικό

μας οδηγεί στο συμπέρασμα πως τα ολοκληρώματα είναι ετερόσημα. Αν ίσχυε $\displaystyle{g(0),g(1) > - 2}$ ή $\displaystyle{g(0),g(1) < - 2}$ τότε προφανώς τα ολοκληρώματα θα ήταν ομόσημα.
Άρα ισχύει μία σχέση τη μορφής: $\displaystyle{g(0) < - 2 < g(1)}$ ή $\displaystyle{g(1) < - 2 < g(0)}$ . Τώρα η συνάρτηση

ως συνεχής ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του

θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών επομένω υπάρχει $\displaystyle{\rho \in \left( {0,1} \right),g(\rho ) = - 2.}$

Επιπλέον λόγω του ότι $\displaystyle{g(2) = - 2}$ , ισχύουν για τη

οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο $[\rho,2]$ επομένως υπάρχει $x_1 \in (\rho,2)$ ώστε: $g'(x_{1})=0.$

Ακόμη $\rho<x_{1}<2 \Rightarrow g'(\rho)<g'(x_{1})=0<g'(2)$ δηλαδή το ζητούμενο.

#9

Christos.N έγραψε:Θεωρώντας την συνάρτηση: $\int_{0}^{x}{2t^2e^{t^2}}dt -xe^{x^2}+x, x\in R$ και μελετώντας την μονοτονία της.

Αυτό είναι το κλειδί της άσκησης << η κρυμμένη συνάρτηση>> που φτιάχνει νέες μεθοδολογίες νέες ασκήσεις (αν και παλιά ιδέα) .

#10

Χμμ...Δε βλέπω συμμετοχή! Δεν πειράζει. Θα το συνεχίσω αύριο! Πρέπει να κοιμηθούμε, αύριο ξημερώνει μία καινούργια και εξίσου δύσκολη ημέρα.
Καλή μας τύχη.

BAGGP93 · #11

Κύριε Χρήστο, μια ακόμη λύση για το β).

Η συνάρτηση $\displaystyle{h:\left[0,1\right]\longrightarrow \mathbb{R}\,,h(x)=\int_{-2}^{g(x)}e^{t^2}\,\rm{dt}$ είναι

καλώς ορισμένη και συνεχής στο $\displaystyle{\left[0,1\right]}$ με $\displaystyle{h(0)\,h(1)<0}$ . Σύμφωνα με το

θεώρημα του $\displaystyle{Bolzano}$ , υπάρχει $\displaystyle{t\in\left(0,1\right)}$ ώστε $\displaystyle{\int_{-2}^{g(t)}e^{t^2}\,\rm{dt}=0}$ .

Επειδή $\displaystyle{e^{t^2}>0\,,t\in\mathbb{R}}$ , έπεται ότι $\displaystyle{g(t)=-2}$ .

Έπειτα συνεχίζω όμοια με σας.

Christos.N · #12

BAGGP93 έγραψε:Κύριε Χρήστο, μια ακόμη λύση για το β).

Η συνάρτηση $\displaystyle{h:\left[0,1\right]\longrightarrow \mathbb{R}\,,h(x)=\int_{-2}^{g(x)}e^{t^2}\,\rm{dt}$ .....

όπως και εδώ

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:
Christos.N έγραψε:Θεωρώντας την συνάρτηση: $\int_{0}^{x}{2t^2e^{t^2}}dt -xe^{x^2}+x, x\in R$ και μελετώντας την μονοτονία της.
Αυτό είναι το κλειδί της άσκησης << η κρυμμένη συνάρτηση>> που φτιάχνει νέες μεθοδολογίες νέες ασκήσεις (αν και παλιά ιδέα) .

Είναι ακριβώς η ίδια (παλιό)ιδέα...η βοηθητική συνάρτηση. Περιμένω να ολοκληρωθούν τα ερωτήματα, για να αναλύσουμε στο τέλος την διδακτική τους προσέγγιση, δηλαδή ποια στρατηγική επίλυσης είναι ωφέλιμη ως εργαλείο αντιμετώπισης.

makisman · #13

Για το Δ1 μια άλλη σκέψη ('οχι τόσο διδακτική) βασιζόμενη στο γενικευμένο ΘΜΤ Cauchy.

Άμεσα είναι $g''(x)\neq 0$ αλλιώς δε θα ίσχυε η δεδομένη ανισότητα.
Έστω ότι υπάρχει $x_{o}\in R$ ώστε $g''(x_{o})< 0$

τότε η δεδομένη γράφεται $\displaystyle{ \frac{\int\limits_0^{g''(x_{o})} {2{t^2}{e^{{t^2}}}} dt}{e^{[g''(x_{o})]^2}-1}<g''(x_{o})$ ,(1)

Θεωρώ τη συνάρτηση
$H(x)=\displaystyle{(e^{[g''(x_{o})]^2}-1) \int\limits_0^{x} {2{t^2}{e^{{t^2}}}} dt-e^{x^2} \int\limits_0^{g''(x_{o})} {2{t^2}{e^{{t^2}}}} dt }$ , $x\in[g''(x_{o}),0]$

τότε $H(0)=H(g''(x_{o}))$ και από Rolle

είναι

, $c\in (g''(x_{o}),0)$
$\displaystyle{\Rightarrow \displaystyle{(e^{[g''(x_{o})]^2)}-1) 2{c^2}{e^{{c^2}}} dt-2c e^{c^2} \int\limits_0^{g''(x_{o})} {2{t^2}{e^{{t^2}}}} dt }=0\Rightarrow \frac{\int\limits_0^{g''(x_{o})} {2{t^2}{e^{{t^2}}}} dt}{e^{[g''(x_{o})]^2}-1}=c}$

τότε από (1) έχω $c<g''(x_{o})$ . άτοπο άρα g''(x)>0

και

γν. αύξουσα

(ελπίζω να μη μου ξέφυγε κάτι !)

BAGGP93 · #14

Καλημέρα. Θα κάνω μια ερώτηση.

Επειδή πρόκειται για μια θεωρητική άσκηση, υπάρχει πραγματική συνάρτηση $\displaystyle{g}$ που να ικανοποιεί τα

δεδομένα της ;

#15

Συνεχίζω με το επόμενο ερώτημα:

Δ3. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g\left( {\frac{{x - 3}}{{g(x) + 2}}} \right)}$

Christos.N · #16

chris_gatos έγραψε:
Δ3. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g\left( {\frac{{x - 3}}{{g(x) + 2}}} \right)}$

Είναι πάλι η χρήση της βοηθητικής συνάρτησης, $\displaystyle{h(x) = g(x) + 2}$ σε συνδυασμό με την μονοτονία της

και την ιδιότητα της εφαπτομένης της ως προς την κυρτότητα της.

dr.tasos · #17

Εγω στο όριο εγραψα $L= \lim_{x \to 2^{-}}\frac{\frac{x-3}{x-2}}{\frac{g(x)-g(2)}{x-2}}$

$\lim_{x \to 2^{-}} {\frac{g(x)-g(2)}{x-2}=g'(2)>0$

$\lim_{x \to 2^{-}} \frac{x-3}{x-2}=+\infty$

$L= +\infty$

και μετα απο κυρτοτητα έχω το αποτελεσμα

#18

Ωραία ευχαριστώ. Νομίζω πως η αντιμετώπιση του ορίου όντως είναι κλασική. Τάσο όμορφη σκέψη.

Να δώσω και το τελευταίο. Απλά πριν να πω πως αυτό ήταν και η μεγαλύτερη πρόκληση για εμένα, ψάχνοντας μία διαφορετική λύση

από την πεπατημένη της χρήσης Θ.Μ.Τ για αποκλεισμό άλλων περιπτώσεων ριζών σε σχέση με την προφανή της μονάδας.

Μέχρι αυτήν τη στιγμή δεν τα έχω καταφέρει. Εν μέσω υποχρεώσεων κτλ δεν τα κατάφερα!

Θα χαρώ όμως αν κάποιος από εσάς το έχει καταφέρει.

Δ4. Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{g(1 + x - {x^3}) = g(1) + g(x) - g({x^3})}$ για x>0.

Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Re: Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Re: Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Re: Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Re: Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Re: Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Re: Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Re: Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Re: Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Re: Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Re: Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Re: Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Re: Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Re: Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Re: Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Re: Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Re: Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Re: Τέταρτο θέμα-Σπουδή και διδασκαλία

Μέλη σε σύνδεση