Ανισότητα με ...υπαρξιακά

hsiodos · #1

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο διάστημα $\displaystyle{\left[ {0\,,\,2} \right]}$ .

Δείξτε ότι υπάρχουν $\displaystyle{{c_1}\, \in \left( {0\,,\,1} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{c_2} \in \left( {1\,,\,2} \right)}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{{\int_0^2 {{{\left( {{f{''}}(x)} \right)}^2}dx \ge \frac{3}{2}\left( {{f{'}}({c_2}) - {f{'}}({c_1})} \right)} ^2}}$

#2

hsiodos έγραψε:Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο διάστημα $\displaystyle{\left[ {0\,,\,2} \right]}$ .

Δείξτε ότι υπάρχουν $\displaystyle{{c_1}\, \in \left( {0\,,\,1} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{c_2} \in \left( {1\,,\,2} \right)}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{{\int_0^2 {{{\left( {{f{''}}(x)} \right)}^2}dx \ge \frac{3}{2}\left( {{f{'}}({c_2}) - {f{'}}({c_1})} \right)} ^2}}$

Καλησπέρα!
Έχοντας χαλάσει πλέον αρκετά μεγάλη ποσότητα χαρτιού χωρίς αποτέλεσμα την επαναφέρω και ζητώ τουλάχιστον υπόδειξη από το Γιώργο ή
οποιοδήποτε άλλο μέλος έχει μια ιδέα.
Η δική μου προσπάθεια αναλώθηκε στο να αποδείξω την ισοδύναμη:

$\displaystyle{\frac{2}{3}\int\limits_0^2 {{{\left( {f''(x)} \right)}^2}} dx \ge {\left( {f'({c_2}) - f'({c_1})} \right)^2}}$

ή ισοδύναμα την $\displaystyle{\int\limits_0^2 {{{\left( {x - 1} \right)}^2}dx} \int\limits_0^2 {{{\left( {f''(x)} \right)}^2}} dx \ge {\left( {f'({c_2}) - f'({c_1})} \right)^2}}$

Εφαρμόζοντας τη συνεχή μορφή της ανισότητας Cauchy-Schwarz έχω:

$\displaystyle{\int\limits_0^2 {{{\left( {x - 1} \right)}^2}dx} \int\limits_0^2 {{{\left( {f''(x)} \right)}^2}} dx \ge {\left( {\int\limits_0^2 {\left( {x - 1} \right)f''(x)dx} } \right)^2}}$

ή κάνοντας τους υπολογισμούς $\displaystyle{\int\limits_0^2 {{{\left( {x - 1} \right)}^2}dx} \int\limits_0^2 {{{\left( {f''(x)} \right)}^2}} dx \ge {\left( {f'(0) + f'(2) - f(2) + f(0)} \right)^2}}$

Εκεί επήλθε κόλλημα αφού δε μπόρεσα να καταλήξω σε αυτό που ζητά ο Γιώργος. Τι προσθαφαιρέσεις όρων έκανα, τι τρυκ ταχυδακτυλουργικά, τίποτα!!

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#3

hsiodos έγραψε:Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο διάστημα $\displaystyle{\left[ {0\,,\,2} \right]}$ .

Δείξτε ότι υπάρχουν $\displaystyle{{c_1}\, \in \left( {0\,,\,1} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{c_2} \in \left( {1\,,\,2} \right)}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{{\int_0^2 {{{\left( {{f{''}}(x)} \right)}^2}dx \ge \frac{3}{2}\left( {{f{'}}({c_2}) - {f{'}}({c_1})} \right)} ^2}}$

Νομίζω ότι η άσκηση είναι ... τρικλοποδιά. Να μία λύση, που δείχνει ότι στο δεξί μέλος μπορούμε να βάλουμε ό,τι θέλουμε στην θέση του 3/2

.

Αν

για κάθε

τότε η

είναι σταθερή και το αποτέλεσμα άμεσο. Οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι

$\displaystyle{{\int_0^2 {{{\left( {{f{''}}(x)} \right)}^2}dx > 0}}$

Επειδή η

είναι συνεχής, έχουμε

$\displaystyle{\lim _{x\to 1+}f'(x) =f'(1)= \lim _{x\to 1-}f'(x) }$ ,

που σημαίνει ότι μπορούμε να επιλέξουμε c_1<1<c_2

τόσο κοντά στο

ώστε η διαφορά $\frac{3}{2}(f'(c_1)-f'(c_2))^2$ να γίνει όσο μικρή θέλουμε. Ειδικά, να την κάνουμε μικρότερη από το αριστερό μέλος του αποδεικτέου.

Φιλικά,

Μιχάλης

#4

Μιχάλη ευχαριστώ πολύ για τη λύση που πρόσφερες!
Αναμένω και κάτι που θα είναι μεσα στα πλαίσια της σχολικής ύλης.

dimitris.ligonis · #5

Νομίζω πως πάνω στην ιδέα του κ. Μιχάλη μπορούμε να θεωρήσουμε την $g(x)=|f'(1+x)-f'(1-x)| - \sqrt{\frac{2}{3} \int_{0}^{2}(f''(t))^2 dt}$ η οποία είναι συνεχής στο

και

. Κοντά στο 0 η g διατηρεί το πρόσημο της, οπότε μπορούμε να βρούμε τα ζητούμενα c_1,c_2

. Απ' ότι θυμάμαι η ιδιότητα αυτή διδάσκεται στην τρίτη λυκείου.

#6

Ορθώς Δημήτρη, ευχαριστώ. Όντως...είναι τρικλοποδιά τελικά!

Ανισότητα με ...υπαρξιακά

Ανισότητα με ...υπαρξιακά

Re: Ανισότητα με ...υπαρξιακά

Re: Ανισότητα με ...υπαρξιακά

Re: Ανισότητα με ...υπαρξιακά

Re: Ανισότητα με ...υπαρξιακά

Re: Ανισότητα με ...υπαρξιακά

Μέλη σε σύνδεση